Cálculo Exemplos

$g' (x) = (2 x + 3) (5 x - 7)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 2 x + 3$ e $g (x) = 5 x - 7$ .

$(2 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x - 7] + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$(2 x + 3) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 1.2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 3) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(2 x + 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$(2 x + 3) (5 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 1.2.5

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$(2 x + 3) (5 + 0) + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.6.1

Some $5$ e $0$ .

$(2 x + 3) \cdot 5 + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 1.2.6.2

Mova $5$ para a esquerda de $2 x + 3$ .

$5 \cdot (2 x + 3) + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$5 (2 x + 3) + (5 x - 7) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 1.2.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (2 x + 3) + (5 x - 7) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (2 x + 3) + (5 x - 7) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 1.2.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$5 (2 x + 3) + (5 x - 7) (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 1.2.11

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 (2 x + 3) + (5 x - 7) (2 + 0)$

Etapa 1.2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.12.1

Some $2$ e $0$ .

$5 (2 x + 3) + (5 x - 7) \cdot 2$

Etapa 1.2.12.2

Mova $2$ para a esquerda de $5 x - 7$ .

$5 (2 x + 3) + 2 \cdot (5 x - 7)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (2 x) + 5 \cdot 3 + 2 (5 x - 7)$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (2 x) + 5 \cdot 3 + 2 (5 x) + 2 \cdot - 7$

Etapa 1.3.3

Combine os termos.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$10 x + 5 \cdot 3 + 2 (5 x) + 2 \cdot - 7$

Etapa 1.3.3.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$10 x + 15 + 2 (5 x) + 2 \cdot - 7$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $5$ por $2$ .

$10 x + 15 + 10 x + 2 \cdot - 7$

Etapa 1.3.3.4

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$10 x + 15 + 10 x - 14$

Etapa 1.3.3.5

Some $10 x$ e $10 x$ .

$20 x + 15 - 14$

Etapa 1.3.3.6

Subtraia $14$ de $15$ .

$f' (x) = 20 x + 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $20 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 x$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $20$ por $1$ .

$20 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$20 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $20$ e $0$ .

$f'' (x) = 20$

Etapa 3

A segunda derivada de $g' (x)$ com relação a $x$ é $20$ .

$20$