Cálculo Exemplos

$y = \frac{\ln (7 x)}{x^{6}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \ln (7 x)$ e $g (x) = x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(x^{6})}^{2}}$

Etapa 1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{6})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{6 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 7 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 x$ .

$\frac{x^{6} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{6} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x$ .

$\frac{x^{6} (\frac{1}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Etapa 1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Combine $\frac{1}{7 x}$ e $x^{6}$ .

$\frac{\frac{x^{6}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $x^{6}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Fatore $x$ de $x^{6}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Fatore $x$ de $7 x$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Etapa 1.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Etapa 1.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{x^{5}}{7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Etapa 1.4.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x^{5}}{7} (7 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Etapa 1.4.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.1

Combine $7$ e $\frac{x^{5}}{7}$ .

$\frac{\frac{7 x^{5}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Etapa 1.4.4.2

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{7 x^{5}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Etapa 1.4.4.2.2

Divida $x^{5}$ por $1$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Etapa 1.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Etapa 1.4.6

Multiplique $x^{5}$ por $1$ .

$\frac{x^{5} - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Etapa 1.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$\frac{x^{5} - \ln (7 x) (6 x^{5})}{x^{12}}$

Etapa 1.4.8

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.8.1

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{x^{5} - 6 \ln (7 x) x^{5}}{x^{12}}$

Etapa 1.4.8.2

Fatore $x^{5}$ de $x^{5} - 6 \ln (7 x) x^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.8.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 - 6 \ln (7 x) x^{5}}{x^{12}}$

Etapa 1.4.8.2.2

Fatore $x^{5}$ de $- 6 \ln (7 x) x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 + x^{5} (- 6 \ln (7 x))}{x^{12}}$

Etapa 1.4.8.2.3

Fatore $x^{5}$ de $x^{5} \cdot 1 + x^{5} (- 6 \ln (7 x))$ .

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (7 x))}{x^{12}}$

Etapa 1.5

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Fatore $x^{5}$ de $x^{12}$ .

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (7 x))}{x^{5} x^{7}}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (7 x))}{x^{5} x^{7}}$

Etapa 1.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - 6 \ln (7 x)}{x^{7}}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Simplifique $- 6 \ln (7 x)$ movendo $6$ para dentro do logaritmo.

$\frac{1 - \ln ({(7 x)}^{6})}{x^{7}}$

Etapa 1.6.2

Aplique a regra do produto a $7 x$ .

$\frac{1 - \ln (7^{6} x^{6})}{x^{7}}$

Etapa 1.6.3

Eleve $7$ à potência de $6$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (117649 x^{6})}{x^{7}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (117649 x^{6})] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{{(x^{7})}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{7})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (117649 x^{6})] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{7 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $7$ por $2$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (117649 x^{6})] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \ln (117649 x^{6})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (117649 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (117649 x^{6})]) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (117649 x^{6})]) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.2.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \ln (117649 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [- \ln (117649 x^{6})] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (117649 x^{6})$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (117649 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} (- \frac{d}{d x} [\ln (117649 x^{6})]) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 117649 x^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $117649 x^{6}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [117649 x^{6}])) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [117649 x^{6}])) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $117649 x^{6}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{1}{117649 x^{6}} \frac{d}{d x} [117649 x^{6}])) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Combine $x^{7}$ e $\frac{1}{117649 x^{6}}$ .

$\frac{- \frac{x^{7}}{117649 x^{6}} \frac{d}{d x} [117649 x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.4.2

Cancele o fator comum de $x^{7}$ e $x^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Fatore $x^{6}$ de $x^{7}$ .

$\frac{- \frac{x^{6} x}{117649 x^{6}} \frac{d}{d x} [117649 x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Fatore $x^{6}$ de $117649 x^{6}$ .

$\frac{- \frac{x^{6} x}{x^{6} \cdot 117649} \frac{d}{d x} [117649 x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{x^{6} x}{x^{6} \cdot 117649} \frac{d}{d x} [117649 x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \frac{x}{117649} \frac{d}{d x} [117649 x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.4.3

Como $117649$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $117649 x^{6}$ em relação a $x$ é $117649 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{- \frac{x}{117649} (117649 \frac{d}{d x} [x^{6}]) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.4.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Multiplique $117649$ por $- 1$ .

$\frac{- 117649 \frac{x}{117649} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.4.4.2

Combine $- 117649$ e $\frac{x}{117649}$ .

$\frac{\frac{- 117649 x}{117649} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.4.4.3

Cancele o fator comum de $- 117649$ e $117649$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.3.1

Fatore $117649$ de $- 117649 x$ .

$\frac{\frac{117649 (- x)}{117649} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.4.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.3.2.1

Fatore $117649$ de $117649$ .

$\frac{\frac{117649 (- x)}{117649 (1)} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.4.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{117649 (- x)}{117649 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.4.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{- x}{1} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.4.4.3.2.4

Divida $- x$ por $1$ .

$\frac{- x \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$\frac{- x (6 x^{5}) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.4.6

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{- 6 x \cdot x^{5} - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.5

Multiplique $x$ por $x^{5}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Mova $x^{5}$ .

$\frac{- 6 (x^{5} x) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $x^{5}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 6 (x^{5} x^{1}) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 6 x^{5 + 1} - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.5.3

Some $5$ e $1$ .

$\frac{- 6 x^{6} - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$\frac{- 6 x^{6} - (1 - \ln (117649 x^{6})) (7 x^{6})}{x^{14}}$

Etapa 2.7

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{- 6 x^{6} - 7 (1 - \ln (117649 x^{6})) x^{6}}{x^{14}}$

Etapa 2.7.2

Fatore $x^{6}$ de $- 6 x^{6} - 7 (1 - \ln (117649 x^{6})) x^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

Fatore $x^{6}$ de $- 6 x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \cdot - 6 - 7 (1 - \ln (117649 x^{6})) x^{6}}{x^{14}}$

Etapa 2.7.2.2

Fatore $x^{6}$ de $- 7 (1 - \ln (117649 x^{6})) x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \cdot - 6 + x^{6} (- 7 (1 - \ln (117649 x^{6})))}{x^{14}}$

Etapa 2.7.2.3

Fatore $x^{6}$ de $x^{6} \cdot - 6 + x^{6} (- 7 (1 - \ln (117649 x^{6})))$ .

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (117649 x^{6})))}{x^{14}}$

Etapa 2.8

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Fatore $x^{6}$ de $x^{14}$ .

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (117649 x^{6})))}{x^{6} x^{8}}$

Etapa 2.8.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (117649 x^{6})))}{x^{6} x^{8}}$

Etapa 2.8.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 6 - 7 (1 - \ln (117649 x^{6}))}{x^{8}}$

Etapa 2.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 6 - 7 \cdot 1 - 7 (- \ln (117649 x^{6}))}{x^{8}}$

Etapa 2.9.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1.1

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$\frac{- 6 - 7 - 7 (- \ln (117649 x^{6}))}{x^{8}}$

Etapa 2.9.2.1.2

Multiplique $- 7 (- \ln (117649 x^{6}))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{- 6 - 7 + 7 \ln (117649 x^{6})}{x^{8}}$

Etapa 2.9.2.1.2.2

Simplifique $7 \ln (117649 x^{6})$ movendo $7$ para dentro do logaritmo.

$\frac{- 6 - 7 + \ln ({(117649 x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

Etapa 2.9.2.1.3

Aplique a regra do produto a $117649 x^{6}$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (117649^{7} {(x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

Etapa 2.9.2.1.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{6})}^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (117649^{7} x^{6 \cdot 7})}{x^{8}}$

Etapa 2.9.2.1.4.2

Multiplique $6$ por $7$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (117649^{7} x^{42})}{x^{8}}$

Etapa 2.9.2.2

Subtraia $7$ de $- 6$ .

$\frac{- 13 + \ln (117649^{7} x^{42})}{x^{8}}$

Etapa 2.9.3

Reescreva $- 13$ como $- 1 (13)$ .

$\frac{- 1 (13) + \ln (117649^{7} x^{42})}{x^{8}}$

Etapa 2.9.4

Fatore $- 1$ de $\ln (117649^{7} x^{42})$ .

$\frac{- 1 (13) - 1 (- \ln (117649^{7} x^{42}))}{x^{8}}$

Etapa 2.9.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (13) - 1 (- \ln (117649^{7} x^{42}))$ .

$\frac{- 1 (13 - \ln (117649^{7} x^{42}))}{x^{8}}$

Etapa 2.9.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{13 - \ln (117649^{7} x^{42})}{x^{8}}$