Cálculo Exemplos

$f (x, y) = 11 {(6 x - 3 y + 4)}^{8}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11 {(6 x - 3 y + 4)}^{8}$ em relação a $x$ é $11 \frac{d}{d x} [{(6 x - 3 y + 4)}^{8}]$ .

$11 \frac{d}{d x} [{(6 x - 3 y + 4)}^{8}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{8}$ e $g (x) = 6 x - 3 y + 4$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 x - 3 y + 4$ .

$11 (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$11 (8 u^{7} \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x - 3 y + 4$ .

$11 (8 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $8$ por $11$ .

$88 ({(6 x - 3 y + 4)}^{7} \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - 3 y + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 1.3.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 1.3.5

Multiplique $6$ por $1$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} (6 + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 1.3.6

Como $- 3 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} (6 + 0 + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 1.3.7

Some $6$ e $0$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} (6 + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 1.3.8

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} (6 + 0)$

Etapa 1.3.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.9.1

Some $6$ e $0$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} \cdot 6$

Etapa 1.3.9.2

Multiplique $6$ por $88$ .

$f' (x) = 528 {(6 x - 3 y + 4)}^{7}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $528$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $528 {(6 x - 3 y + 4)}^{7}$ em relação a $x$ é $528 \frac{d}{d x} [{(6 x - 3 y + 4)}^{7}]$ .

$528 \frac{d}{d x} [{(6 x - 3 y + 4)}^{7}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = 6 x - 3 y + 4$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 x - 3 y + 4$ .

$528 (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$528 (7 u^{6} \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x - 3 y + 4$ .

$528 (7 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $7$ por $528$ .

$3696 ({(6 x - 3 y + 4)}^{6} \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - 3 y + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 2.3.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 2.3.5

Multiplique $6$ por $1$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} (6 + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 2.3.6

Como $- 3 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} (6 + 0 + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 2.3.7

Some $6$ e $0$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} (6 + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 2.3.8

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} (6 + 0)$

Etapa 2.3.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.9.1

Some $6$ e $0$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} \cdot 6$

Etapa 2.3.9.2

Multiplique $6$ por $3696$ .

$f'' (x) = 22176 {(6 x - 3 y + 4)}^{6}$