Cálculo Exemplos

$y = 5 t {(3 t + 2)}^{4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t {(3 t + 2)}^{4}$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t {(3 t + 2)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t {(3 t + 2)}^{4}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = {(3 t + 2)}^{4}$ .

$5 (t \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{4}] + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{4}$ e $g (t) = 3 t + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 t + 2$ .

$5 (t (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [3 t + 2]) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 (t (4 u^{3} \frac{d}{d t} [3 t + 2]) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 t + 2$ .

$5 (t (4 {(3 t + 2)}^{3} \frac{d}{d t} [3 t + 2]) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 t + 2$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$5 (t (4 {(3 t + 2)}^{3} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [2])) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.4.2

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 (t (4 {(3 t + 2)}^{3} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2])) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (t (4 {(3 t + 2)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2])) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.4.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$5 (t (4 {(3 t + 2)}^{3} (3 + \frac{d}{d t} [2])) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.4.5

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2$ em relação a $t$ é $0$ .

$5 (t (4 {(3 t + 2)}^{3} (3 + 0)) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.4.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1

Some $3$ e $0$ .

$5 (t (4 {(3 t + 2)}^{3} \cdot 3) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.4.6.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$5 (t (12 {(3 t + 2)}^{3}) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (t (12 {(3 t + 2)}^{3}) + {(3 t + 2)}^{4} \cdot 1)$

Etapa 1.4.8

Multiplique ${(3 t + 2)}^{4}$ por $1$ .

$5 (t (12 {(3 t + 2)}^{3}) + {(3 t + 2)}^{4})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (t (12 {(3 t + 2)}^{3})) + 5 {(3 t + 2)}^{4}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $12$ por $5$ .

$60 (t ({(3 t + 2)}^{3})) + 5 {(3 t + 2)}^{4}$

Etapa 1.5.3

Fatore $5 {(3 t + 2)}^{3}$ de $60 t {(3 t + 2)}^{3} + 5 {(3 t + 2)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Fatore $5 {(3 t + 2)}^{3}$ de $60 t {(3 t + 2)}^{3}$ .

$5 {(3 t + 2)}^{3} (12 t) + 5 {(3 t + 2)}^{4}$

Etapa 1.5.3.2

Fatore $5 {(3 t + 2)}^{3}$ de $5 {(3 t + 2)}^{4}$ .

$5 {(3 t + 2)}^{3} (12 t) + 5 {(3 t + 2)}^{3} (3 t + 2)$

Etapa 1.5.3.3

Fatore $5 {(3 t + 2)}^{3}$ de $5 {(3 t + 2)}^{3} (12 t) + 5 {(3 t + 2)}^{3} (3 t + 2)$ .

$5 {(3 t + 2)}^{3} (12 t + 3 t + 2)$

Etapa 1.5.4

Some $12 t$ e $3 t$ .

$f' (t) = 5 {(3 t + 2)}^{3} (15 t + 2)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 {(3 t + 2)}^{3} (15 t + 2)$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3} (15 t + 2)]$ .

$5 \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3} (15 t + 2)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = {(3 t + 2)}^{3}$ e $g (t) = 15 t + 2$ .

$5 ({(3 t + 2)}^{3} \frac{d}{d t} [15 t + 2] + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $15 t + 2$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [15 t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$5 ({(3 t + 2)}^{3} (\frac{d}{d t} [15 t] + \frac{d}{d t} [2]) + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

Etapa 2.3.2

Como $15$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $15 t$ em relação a $t$ é $15 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 ({(3 t + 2)}^{3} (15 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]) + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 ({(3 t + 2)}^{3} (15 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2]) + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

Etapa 2.3.4

Multiplique $15$ por $1$ .

$5 ({(3 t + 2)}^{3} (15 + \frac{d}{d t} [2]) + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

Etapa 2.3.5

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2$ em relação a $t$ é $0$ .

$5 ({(3 t + 2)}^{3} (15 + 0) + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

Etapa 2.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.6.1

Some $15$ e $0$ .

$5 ({(3 t + 2)}^{3} \cdot 15 + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

Etapa 2.3.6.2

Mova $15$ para a esquerda de ${(3 t + 2)}^{3}$ .

$5 (15 \cdot {(3 t + 2)}^{3} + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = 3 t + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 t + 2$ .

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + (15 t + 2) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [3 t + 2]))$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + (15 t + 2) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [3 t + 2]))$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 t + 2$ .

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + (15 t + 2) (3 {(3 t + 2)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t + 2]))$

Etapa 2.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Mova $3$ para a esquerda de $15 t + 2$ .

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 3 \cdot (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t + 2])$

Etapa 2.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 t + 2$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 3 (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [2]))$

Etapa 2.5.3

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 3 (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]))$

Etapa 2.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 3 (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2]))$

Etapa 2.5.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 3 (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2} (3 + \frac{d}{d t} [2]))$

Etapa 2.5.6

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2$ em relação a $t$ é $0$ .

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 3 (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2} (3 + 0))$

Etapa 2.5.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.7.1

Some $3$ e $0$ .

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 3 (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2} \cdot 3)$

Etapa 2.5.7.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 9 (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2})$

Etapa 2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + (9 (15 t) + 9 \cdot 2) {(3 t + 2)}^{2})$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3}) + 5 ((9 (15 t) + 9 \cdot 2) {(3 t + 2)}^{2})$

Etapa 2.6.3

Multiplique $15$ por $5$ .

$75 {(3 t + 2)}^{3} + 5 ((9 (15 t) + 9 \cdot 2) {(3 t + 2)}^{2})$

Etapa 2.6.4

Multiplique $15$ por $9$ .

$75 {(3 t + 2)}^{3} + 5 ((135 t + 9 \cdot 2) {(3 t + 2)}^{2})$

Etapa 2.6.5

Multiplique $9$ por $2$ .

$75 {(3 t + 2)}^{3} + 5 ((135 t + 18) {(3 t + 2)}^{2})$

Etapa 2.6.6

Fatore $5 {(3 t + 2)}^{2}$ de $75 {(3 t + 2)}^{3} + 5 (135 t + 18) {(3 t + 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.6.1

Fatore $5 {(3 t + 2)}^{2}$ de $75 {(3 t + 2)}^{3}$ .

$5 {(3 t + 2)}^{2} (15 (3 t + 2)) + 5 (135 t + 18) {(3 t + 2)}^{2}$

Etapa 2.6.6.2

Fatore $5 {(3 t + 2)}^{2}$ de $5 (135 t + 18) {(3 t + 2)}^{2}$ .

$5 {(3 t + 2)}^{2} (15 (3 t + 2)) + 5 {(3 t + 2)}^{2} (135 t + 18)$

Etapa 2.6.6.3

Fatore $5 {(3 t + 2)}^{2}$ de $5 {(3 t + 2)}^{2} (15 (3 t + 2)) + 5 {(3 t + 2)}^{2} (135 t + 18)$ .

$5 {(3 t + 2)}^{2} (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Etapa 2.6.7

Reescreva ${(3 t + 2)}^{2}$ como $(3 t + 2) (3 t + 2)$ .

$5 ((3 t + 2) (3 t + 2)) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Etapa 2.6.8

Expanda $(3 t + 2) (3 t + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (3 t (3 t + 2) + 2 (3 t + 2)) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Etapa 2.6.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (3 t (3 t) + 3 t \cdot 2 + 2 (3 t + 2)) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Etapa 2.6.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (3 t (3 t) + 3 t \cdot 2 + 2 (3 t) + 2 \cdot 2) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Etapa 2.6.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.9.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 (3 \cdot 3 t \cdot t + 3 t \cdot 2 + 2 (3 t) + 2 \cdot 2) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Etapa 2.6.9.1.2

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.9.1.2.1

Mova $t$ .

$5 (3 \cdot 3 (t \cdot t) + 3 t \cdot 2 + 2 (3 t) + 2 \cdot 2) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Etapa 2.6.9.1.2.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$5 (3 \cdot 3 t^{2} + 3 t \cdot 2 + 2 (3 t) + 2 \cdot 2) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Etapa 2.6.9.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$5 (9 t^{2} + 3 t \cdot 2 + 2 (3 t) + 2 \cdot 2) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Etapa 2.6.9.1.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$5 (9 t^{2} + 6 t + 2 (3 t) + 2 \cdot 2) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Etapa 2.6.9.1.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$5 (9 t^{2} + 6 t + 6 t + 2 \cdot 2) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Etapa 2.6.9.1.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$5 (9 t^{2} + 6 t + 6 t + 4) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Etapa 2.6.9.2

Some $6 t$ e $6 t$ .

$5 (9 t^{2} + 12 t + 4) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Etapa 2.6.10

Aplique a propriedade distributiva.

$(5 (9 t^{2}) + 5 (12 t) + 5 \cdot 4) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Etapa 2.6.11

Simplifique.

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Etapa 2.6.11.1

Multiplique $9$ por $5$ .

$(45 t^{2} + 5 (12 t) + 5 \cdot 4) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Etapa 2.6.11.2

Multiplique $12$ por $5$ .

$(45 t^{2} + 60 t + 5 \cdot 4) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Etapa 2.6.11.3

Multiplique $5$ por $4$ .

$(45 t^{2} + 60 t + 20) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Etapa 2.6.12

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(45 t^{2} + 60 t + 20) (15 (3 t) + 15 \cdot 2 + 135 t + 18)$

Etapa 2.6.12.2

Multiplique $3$ por $15$ .

$(45 t^{2} + 60 t + 20) (45 t + 15 \cdot 2 + 135 t + 18)$

Etapa 2.6.12.3

Multiplique $15$ por $2$ .

$(45 t^{2} + 60 t + 20) (45 t + 30 + 135 t + 18)$

Etapa 2.6.13

Some $45 t$ e $135 t$ .

$(45 t^{2} + 60 t + 20) (180 t + 30 + 18)$

Etapa 2.6.14

Some $30$ e $18$ .

$(45 t^{2} + 60 t + 20) (180 t + 48)$

Etapa 2.6.15

Expanda $(45 t^{2} + 60 t + 20) (180 t + 48)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$45 t^{2} (180 t) + 45 t^{2} \cdot 48 + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Etapa 2.6.16

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.16.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$45 \cdot 180 t^{2} t + 45 t^{2} \cdot 48 + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Etapa 2.6.16.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.16.2.1

Mova $t$ .

$45 \cdot 180 (t \cdot t^{2}) + 45 t^{2} \cdot 48 + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Etapa 2.6.16.2.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

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Etapa 2.6.16.2.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$45 \cdot 180 (t^{1} t^{2}) + 45 t^{2} \cdot 48 + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Etapa 2.6.16.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$45 \cdot 180 t^{1 + 2} + 45 t^{2} \cdot 48 + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Etapa 2.6.16.2.3

Some $1$ e $2$ .

$45 \cdot 180 t^{3} + 45 t^{2} \cdot 48 + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Etapa 2.6.16.3

Multiplique $45$ por $180$ .

$8100 t^{3} + 45 t^{2} \cdot 48 + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Etapa 2.6.16.4

Multiplique $48$ por $45$ .

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Etapa 2.6.16.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 60 \cdot 180 t \cdot t + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Etapa 2.6.16.6

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.16.6.1

Mova $t$ .

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 60 \cdot 180 (t \cdot t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Etapa 2.6.16.6.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 60 \cdot 180 t^{2} + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Etapa 2.6.16.7

Multiplique $60$ por $180$ .

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 10800 t^{2} + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Etapa 2.6.16.8

Multiplique $48$ por $60$ .

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 10800 t^{2} + 2880 t + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Etapa 2.6.16.9

Multiplique $180$ por $20$ .

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 10800 t^{2} + 2880 t + 3600 t + 20 \cdot 48$

Etapa 2.6.16.10

Multiplique $20$ por $48$ .

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 10800 t^{2} + 2880 t + 3600 t + 960$

Etapa 2.6.17

Some $2160 t^{2}$ e $10800 t^{2}$ .

$8100 t^{3} + 12960 t^{2} + 2880 t + 3600 t + 960$

Etapa 2.6.18

Some $2880 t$ e $3600 t$ .

$f'' (t) = 8100 t^{3} + 12960 t^{2} + 6480 t + 960$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8100 t^{3} + 12960 t^{2} + 6480 t + 960$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [8100 t^{3}] + \frac{d}{d t} [12960 t^{2}] + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$ .

$\frac{d}{d t} [8100 t^{3}] + \frac{d}{d t} [12960 t^{2}] + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d t} [8100 t^{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $8100$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $8100 t^{3}$ em relação a $t$ é $8100 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$8100 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [12960 t^{2}] + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$8100 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [12960 t^{2}] + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $8100$ .

$24300 t^{2} + \frac{d}{d t} [12960 t^{2}] + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d t} [12960 t^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $12960$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $12960 t^{2}$ em relação a $t$ é $12960 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$24300 t^{2} + 12960 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$24300 t^{2} + 12960 (2 t) + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $12960$ .

$24300 t^{2} + 25920 t + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d t} [6480 t]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $6480$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $6480 t$ em relação a $t$ é $6480 \frac{d}{d t} [t]$ .

$24300 t^{2} + 25920 t + 6480 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [960]$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$24300 t^{2} + 25920 t + 6480 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [960]$

Etapa 3.4.3

Multiplique $6480$ por $1$ .

$24300 t^{2} + 25920 t + 6480 + \frac{d}{d t} [960]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.5.1

Como $960$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $960$ em relação a $t$ é $0$ .

$24300 t^{2} + 25920 t + 6480 + 0$

Etapa 3.5.2

Some $24300 t^{2} + 25920 t + 6480$ e $0$ .

$f''' (t) = 24300 t^{2} + 25920 t + 6480$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $24300 t^{2} + 25920 t + 6480$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [24300 t^{2}] + \frac{d}{d t} [25920 t] + \frac{d}{d t} [6480]$ .

$\frac{d}{d t} [24300 t^{2}] + \frac{d}{d t} [25920 t] + \frac{d}{d t} [6480]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d t} [24300 t^{2}]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $24300$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $24300 t^{2}$ em relação a $t$ é $24300 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$24300 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [25920 t] + \frac{d}{d t} [6480]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$24300 (2 t) + \frac{d}{d t} [25920 t] + \frac{d}{d t} [6480]$

Etapa 4.2.3

Multiplique $2$ por $24300$ .

$48600 t + \frac{d}{d t} [25920 t] + \frac{d}{d t} [6480]$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d t} [25920 t]$ .

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Etapa 4.3.1

Como $25920$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $25920 t$ em relação a $t$ é $25920 \frac{d}{d t} [t]$ .

$48600 t + 25920 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6480]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$48600 t + 25920 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6480]$

Etapa 4.3.3

Multiplique $25920$ por $1$ .

$48600 t + 25920 + \frac{d}{d t} [6480]$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.4.1

Como $6480$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $6480$ em relação a $t$ é $0$ .

$48600 t + 25920 + 0$

Etapa 4.4.2

Some $48600 t + 25920$ e $0$ .

$f^{4} (t) = 48600 t + 25920$