Cálculo Exemplos

$y = 5 x^{7} - 4 x^{6} + 7 x^{4} - 12 x^{3} + 2 x - 5$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{7} - 4 x^{6} + 7 x^{4} - 12 x^{3} + 2 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{7}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{7}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$5 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $7$ por $5$ .

$35 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{6}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{6}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$35 x^{6} - 4 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$35 x^{6} - 4 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $6$ por $- 4$ .

$35 x^{6} - 24 x^{5} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{4}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$35 x^{6} - 24 x^{5} + 7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$35 x^{6} - 24 x^{5} + 7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $4$ por $7$ .

$35 x^{6} - 24 x^{5} + 28 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Etapa 1.5.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$35 x^{6} - 24 x^{5} + 28 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$35 x^{6} - 24 x^{5} + 28 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.5.3

Multiplique $3$ por $- 12$ .

$35 x^{6} - 24 x^{5} + 28 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.6

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.6.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$35 x^{6} - 24 x^{5} + 28 x^{3} - 36 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$35 x^{6} - 24 x^{5} + 28 x^{3} - 36 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.6.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$35 x^{6} - 24 x^{5} + 28 x^{3} - 36 x^{2} + 2 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.7

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.7.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$35 x^{6} - 24 x^{5} + 28 x^{3} - 36 x^{2} + 2 + 0$

Etapa 1.7.2

Some $35 x^{6} - 24 x^{5} + 28 x^{3} - 36 x^{2} + 2$ e $0$ .

$f' (x) = 35 x^{6} - 24 x^{5} + 28 x^{3} - 36 x^{2} + 2$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $35 x^{6} - 24 x^{5} + 28 x^{3} - 36 x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [35 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{5}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [35 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{5}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [35 x^{6}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $35$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $35 x^{6}$ em relação a $x$ é $35 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$35 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{5}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$35 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 24 x^{5}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $6$ por $35$ .

$210 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 24 x^{5}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x^{5}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x^{5}$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$210 x^{5} - 24 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$210 x^{5} - 24 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $5$ por $- 24$ .

$210 x^{5} - 120 x^{4} + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $28$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $28 x^{3}$ em relação a $x$ é $28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$210 x^{5} - 120 x^{4} + 28 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$210 x^{5} - 120 x^{4} + 28 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $3$ por $28$ .

$210 x^{5} - 120 x^{4} + 84 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Etapa 2.5.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$210 x^{5} - 120 x^{4} + 84 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$210 x^{5} - 120 x^{4} + 84 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.5.3

Multiplique $2$ por $- 36$ .

$210 x^{5} - 120 x^{4} + 84 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.6.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$210 x^{5} - 120 x^{4} + 84 x^{2} - 72 x + 0$

Etapa 2.6.2

Some $210 x^{5} - 120 x^{4} + 84 x^{2} - 72 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 210 x^{5} - 120 x^{4} + 84 x^{2} - 72 x$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $210 x^{5} - 120 x^{4} + 84 x^{2} - 72 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [210 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

$\frac{d}{d x} [210 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [210 x^{5}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $210$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $210 x^{5}$ em relação a $x$ é $210 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$210 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$210 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $5$ por $210$ .

$1050 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 120 x^{4}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 120$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 120 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 120 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$1050 x^{4} - 120 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$1050 x^{4} - 120 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $4$ por $- 120$ .

$1050 x^{4} - 480 x^{3} + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [84 x^{2}]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $84$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $84 x^{2}$ em relação a $x$ é $84 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1050 x^{4} - 480 x^{3} + 84 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$1050 x^{4} - 480 x^{3} + 84 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 3.4.3

Multiplique $2$ por $84$ .

$1050 x^{4} - 480 x^{3} + 168 x + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Etapa 3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

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Etapa 3.5.1

Como $- 72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 72 x$ em relação a $x$ é $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1050 x^{4} - 480 x^{3} + 168 x - 72 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1050 x^{4} - 480 x^{3} + 168 x - 72 \cdot 1$

Etapa 3.5.3

Multiplique $- 72$ por $1$ .

$f''' (x) = 1050 x^{4} - 480 x^{3} + 168 x - 72$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1050 x^{4} - 480 x^{3} + 168 x - 72$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1050 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 480 x^{3}] + \frac{d}{d x} [168 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ .

$\frac{d}{d x} [1050 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 480 x^{3}] + \frac{d}{d x} [168 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [1050 x^{4}]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $1050$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1050 x^{4}$ em relação a $x$ é $1050 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$1050 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 480 x^{3}] + \frac{d}{d x} [168 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$1050 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 480 x^{3}] + \frac{d}{d x} [168 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$

Etapa 4.2.3

Multiplique $4$ por $1050$ .

$4200 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 480 x^{3}] + \frac{d}{d x} [168 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 480 x^{3}]$ .

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Etapa 4.3.1

Como $- 480$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 480 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 480 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4200 x^{3} - 480 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [168 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4200 x^{3} - 480 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [168 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$

Etapa 4.3.3

Multiplique $3$ por $- 480$ .

$4200 x^{3} - 1440 x^{2} + \frac{d}{d x} [168 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$

Etapa 4.4

Avalie $\frac{d}{d x} [168 x]$ .

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Etapa 4.4.1

Como $168$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $168 x$ em relação a $x$ é $168 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4200 x^{3} - 1440 x^{2} + 168 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 72]$

Etapa 4.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4200 x^{3} - 1440 x^{2} + 168 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 72]$

Etapa 4.4.3

Multiplique $168$ por $1$ .

$4200 x^{3} - 1440 x^{2} + 168 + \frac{d}{d x} [- 72]$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.5.1

Como $- 72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 72$ em relação a $x$ é $0$ .

$4200 x^{3} - 1440 x^{2} + 168 + 0$

Etapa 4.5.2

Some $4200 x^{3} - 1440 x^{2} + 168$ e $0$ .

$f^{4} (x) = 4200 x^{3} - 1440 x^{2} + 168$