Cálculo Exemplos

$y = \tan (2 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 1.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\sec^{2} (2 x) \cdot 2$

Etapa 1.2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sec^{2} (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \sec^{2} (2 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \sec^{2} (2 x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (2 x)$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (2 x)$ .

$2 (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$4 \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.4.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$4 \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$4 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.5

Eleve $\sec (2 x)$ à potência de $1$ .

$4 (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.6

Eleve $\sec (2 x)$ à potência de $1$ .

$4 (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.8

Some $1$ e $1$ .

$4 \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.9

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.10

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1$

Etapa 2.12

Multiplique $8$ por $1$ .

$f'' (x) = 8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sec^{2} (2 x)$ e $g (x) = \tan (2 x)$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\tan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec^{2} (u_{1})$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Etapa 3.4

Multiplique $\sec^{2} (2 x)$ por $\sec^{2} (2 x)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1

Mova $\sec^{2} (2 x)$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Etapa 3.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 ({\sec (2 x)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Etapa 3.4.3

Some $2$ e $2$ .

$8 (\sec^{4} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Etapa 3.5

Diferencie.

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Etapa 3.5.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (\sec^{4} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 (\sec^{4} (2 x) (2 \cdot 1) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Etapa 3.5.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$8 (\sec^{4} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Etapa 3.5.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sec^{4} (2 x)$ .

$8 (2 \cdot \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sec (2 x)$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]))$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]))$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sec (2 x)$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]))$

Etapa 3.7

Mova $2$ para a esquerda de $\tan (2 x)$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \cdot \tan (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $2 x$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 3.8.2

A derivada de $\sec (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 3.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $2 x$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 3.9

Eleve $\tan (2 x)$ à potência de $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 (\tan^{1} (2 x) \tan (2 x)) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 3.10

Eleve $\tan (2 x)$ à potência de $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 (\tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x)) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 3.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 3.12

Some $1$ e $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 3.13

Eleve $\sec (2 x)$ à potência de $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.14

Eleve $\sec (2 x)$ à potência de $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.16

Some $1$ e $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.17

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.18

Multiplique $2$ por $2$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.19

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 1)$

Etapa 3.20

Multiplique $4$ por $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

Etapa 3.21

Simplifique.

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Etapa 3.21.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 (2 \sec^{4} (2 x)) + 8 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

Etapa 3.21.2

Combine os termos.

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Etapa 3.21.2.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$16 \sec^{4} (2 x) + 8 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

Etapa 3.21.2.2

Multiplique $4$ por $8$ .

$16 \sec^{4} (2 x) + 32 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)$

Etapa 3.21.3

Reordene os termos.

$f''' (x) = 32 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 16 \sec^{4} (2 x)$