Cálculo Exemplos

$f (t) = \sqrt{8 t^{2}} - t$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{8 t^{2}} - t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}]$ .

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Etapa 1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{8 t^{2}}$ como ${(8 t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [{(8 t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.2.2

Fatore $8$ de $8 t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [{(8 (t^{2}))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.2.3

Aplique a regra do produto a $8 (t^{2})$ .

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} {(t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.2.4

Multiplique os expoentes em ${(t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{2 (\frac{1}{2})}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.2.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{2 (\frac{1}{2})}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.2.4.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{1}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.2.5

Simplifique.

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t] + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.2.6

Como $8^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $8^{\frac{1}{2}} t$ em relação a $t$ é $8^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$ .

$8^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.2.8

Multiplique $8^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$8^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [- t]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$8^{\frac{1}{2}} - \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (t) = 8^{\frac{1}{2}} - 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8^{\frac{1}{2}} - 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.2

Como $8^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $8^{\frac{1}{2}}$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + 0$

Etapa 2.4

Some $0$ e $0$ .

$f'' (t) = 0$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (t)$ com relação a $t$ é $0$ .

$0$