Cálculo Exemplos

$g (x) = \frac{3 e^{x}}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 e^{x}}{x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x$ .

$3 \frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$3 \frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2.2

Combine $3$ e $\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$ .

$\frac{3 (x e^{x} - e^{x})}{x^{2}}$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (x e^{x}) + 3 (- e^{x})}{x^{2}}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 x e^{x} - 3 e^{x}}{x^{2}}$

Etapa 1.5.3

Reordene os termos.

$\frac{3 e^{x} x - 3 e^{x}}{x^{2}}$

Etapa 1.5.4

Fatore $3 e^{x}$ de $3 e^{x} x - 3 e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Fatore $3 e^{x}$ de $3 e^{x} x$ .

$\frac{3 e^{x} (x) - 3 e^{x}}{x^{2}}$

Etapa 1.5.4.2

Fatore $3 e^{x}$ de $- 3 e^{x}$ .

$\frac{3 e^{x} (x) + 3 e^{x} (- 1)}{x^{2}}$

Etapa 1.5.4.3

Fatore $3 e^{x}$ de $3 e^{x} (x) + 3 e^{x} (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{3 e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}]$

Etapa 2.2

$3 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - 1$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.5.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.5.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.5.4.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.7.2

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Etapa 2.7.2.2

Fatore $x$ de $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x})$ .

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Etapa 2.7.2.2.2

Fatore $x$ de $- 2 e^{x} (x - 1) x$ .

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Etapa 2.7.2.2.3

Fatore $x$ de $x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))$ .

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Etapa 2.8

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.8.2

Cancele o fator comum.

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.8.3

Reescreva a expressão.

$3 \frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Etapa 2.9

Combine $3$ e $\frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$ .

$\frac{3 (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{3}}$

Etapa 2.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (x (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{3}}$

Etapa 2.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{3}}$

Etapa 2.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Etapa 2.10.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (x e^{x}) + 3 (x (x e^{x})) + 3 (x (- 1 e^{x})) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Etapa 2.10.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.5.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.5.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 (x \cdot x e^{x}) + 3 (x (- 1 e^{x})) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Etapa 2.10.5.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 (x^{2} e^{x}) + 3 (x (- 1 e^{x})) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Etapa 2.10.5.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 (- x e^{x}) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Etapa 2.10.5.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 (x e^{x}) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Etapa 2.10.5.1.4

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 6 (e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Etapa 2.10.5.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 6 e^{x} x + 3 (2 e^{x})}{x^{3}}$

Etapa 2.10.5.1.6

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Etapa 2.10.5.2

Combine os termos opostos em $3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.5.2.1

Subtraia $3 x e^{x}$ de $3 x e^{x}$ .

$\frac{3 x^{2} e^{x} + 0 - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Etapa 2.10.5.2.2

Some $3 x^{2} e^{x}$ e $0$ .

$\frac{3 x^{2} e^{x} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Etapa 2.10.5.3

Reordene os fatores em $3 x^{2} e^{x} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ .

$\frac{3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Etapa 2.10.6

Reordene os termos.

$\frac{3 e^{x} x^{2} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Etapa 2.10.7

Fatore $3 e^{x}$ de $3 e^{x} x^{2} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.7.1

Fatore $3 e^{x}$ de $3 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{3 e^{x} (x^{2}) - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Etapa 2.10.7.2

Fatore $3 e^{x}$ de $- 6 e^{x} x$ .

$\frac{3 e^{x} (x^{2}) + 3 e^{x} (- 2 x) + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Etapa 2.10.7.3

Fatore $3 e^{x}$ de $6 e^{x}$ .

$\frac{3 e^{x} (x^{2}) + 3 e^{x} (- 2 x) + 3 e^{x} (2)}{x^{3}}$

Etapa 2.10.7.4

Fatore $3 e^{x}$ de $3 e^{x} (x^{2}) + 3 e^{x} (- 2 x)$ .

$\frac{3 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 3 e^{x} (2)}{x^{3}}$

Etapa 2.10.7.5

Fatore $3 e^{x}$ de $3 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 3 e^{x} (2)$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{x^{3}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{x^{3}}$ .

$\frac{3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{x^{3}}$