Cálculo Exemplos

$g (t) = {(9 t^{2} - 7)}^{2} (3 t^{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Mova $3$ para a esquerda de ${(9 t^{2} - 7)}^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [3 \cdot {(9 t^{2} - 7)}^{2} t^{2}]$

Etapa 1.1.2

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t^{2}$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2} t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2} t^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = {(9 t^{2} - 7)}^{2}$ e $g (t) = t^{2}$ .

$3 ({(9 t^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + t^{2} \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2}])$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 ({(9 t^{2} - 7)}^{2} (2 t) + t^{2} \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2}])$

Etapa 1.3.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(9 t^{2} - 7)}^{2}$ .

$3 (2 \cdot {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2}])$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = 9 t^{2} - 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $9 t^{2} - 7$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [9 t^{2} - 7]))$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [9 t^{2} - 7]))$

Etapa 1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 t^{2} - 7$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) \frac{d}{d t} [9 t^{2} - 7]))$

Etapa 1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 t^{2} - 7$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7])))$

Etapa 1.5.2

Como $9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $9 t^{2}$ em relação a $t$ é $9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (9 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7])))$

Etapa 1.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (9 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 7])))$

Etapa 1.5.4

Multiplique $2$ por $9$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (18 t + \frac{d}{d t} [- 7])))$

Etapa 1.5.5

Como $- 7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 7$ em relação a $t$ é $0$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (18 t + 0)))$

Etapa 1.5.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.1

Some $18 t$ e $0$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (18 t)))$

Etapa 1.5.6.2

Multiplique $18$ por $2$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (36 (9 t^{2} - 7) t))$

Etapa 1.6

Multiplique $t^{2}$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Mova $t$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t \cdot t^{2} (36 (9 t^{2} - 7)))$

Etapa 1.6.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{1} t^{2} (36 (9 t^{2} - 7)))$

Etapa 1.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{1 + 2} (36 (9 t^{2} - 7)))$

Etapa 1.6.3

Some $1$ e $2$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{3} (36 (9 t^{2} - 7)))$

Etapa 1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{3} (36 (9 t^{2}) + 36 \cdot - 7))$

Etapa 1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{3} (36 (9 t^{2})) + t^{3} (36 \cdot - 7))$

Etapa 1.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t) + 3 (t^{3} (36 (9 t^{2}))) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Etapa 1.7.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 ({(9 t^{2} - 7)}^{2} t) + 3 (t^{3} (36 (9 t^{2}))) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Etapa 1.7.4.2

Multiplique $9$ por $36$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (t^{3} (324 t^{2})) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Etapa 1.7.4.3

Multiplique $t^{3}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.3.1

Mova $t^{2}$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (t^{2} t^{3} \cdot 324) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Etapa 1.7.4.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (t^{2 + 3} \cdot 324) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Etapa 1.7.4.3.3

Some $2$ e $3$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (t^{5} \cdot 324) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Etapa 1.7.4.4

Mova $324$ para a esquerda de $t^{5}$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (324 \cdot t^{5}) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Etapa 1.7.4.5

Multiplique $324$ por $3$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 972 t^{5} + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Etapa 1.7.4.6

Multiplique $36$ por $- 7$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 972 t^{5} + 3 (t^{3} \cdot - 252)$

Etapa 1.7.4.7

Mova $- 252$ para a esquerda de $t^{3}$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 972 t^{5} + 3 (- 252 \cdot t^{3})$

Etapa 1.7.4.8

Multiplique $- 252$ por $3$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 972 t^{5} - 756 t^{3}$

Etapa 1.7.5

Reordene os termos.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t {(9 t^{2} - 7)}^{2}$

Etapa 1.7.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.6.1

Reescreva ${(9 t^{2} - 7)}^{2}$ como $(9 t^{2} - 7) (9 t^{2} - 7)$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t ((9 t^{2} - 7) (9 t^{2} - 7))$

Etapa 1.7.6.2

Expanda $(9 t^{2} - 7) (9 t^{2} - 7)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 t^{2} (9 t^{2} - 7) - 7 (9 t^{2} - 7))$

Etapa 1.7.6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 t^{2} (9 t^{2}) + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2} - 7))$

Etapa 1.7.6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 t^{2} (9 t^{2}) + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

Etapa 1.7.6.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.6.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 \cdot 9 t^{2} t^{2} + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

Etapa 1.7.6.3.1.2

Multiplique $t^{2}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.6.3.1.2.1

Mova $t^{2}$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 \cdot 9 (t^{2} t^{2}) + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

Etapa 1.7.6.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 \cdot 9 t^{2 + 2} + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

Etapa 1.7.6.3.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 \cdot 9 t^{4} + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

Etapa 1.7.6.3.1.3

Multiplique $9$ por $9$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

Etapa 1.7.6.3.1.4

Multiplique $- 7$ por $9$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} - 63 t^{2} - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

Etapa 1.7.6.3.1.5

Multiplique $9$ por $- 7$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} - 63 t^{2} - 63 t^{2} - 7 \cdot - 7)$

Etapa 1.7.6.3.1.6

Multiplique $- 7$ por $- 7$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} - 63 t^{2} - 63 t^{2} + 49)$

Etapa 1.7.6.3.2

Subtraia $63 t^{2}$ de $- 63 t^{2}$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} - 126 t^{2} + 49)$

Etapa 1.7.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4}) + 6 t (- 126 t^{2}) + 6 t \cdot 49$

Etapa 1.7.6.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.6.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t \cdot t^{4} + 6 t (- 126 t^{2}) + 6 t \cdot 49$

Etapa 1.7.6.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t \cdot t^{4} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 6 t \cdot 49$

Etapa 1.7.6.5.3

Multiplique $49$ por $6$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t \cdot t^{4} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

Etapa 1.7.6.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.6.6.1

Multiplique $t$ por $t^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.6.6.1.1

Mova $t^{4}$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 (t^{4} t) + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

Etapa 1.7.6.6.1.2

Multiplique $t^{4}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.6.6.1.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 (t^{4} t^{1}) + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

Etapa 1.7.6.6.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t^{4 + 1} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

Etapa 1.7.6.6.1.3

Some $4$ e $1$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t^{5} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

Etapa 1.7.6.6.2

Multiplique $6$ por $81$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

Etapa 1.7.6.6.3

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.6.6.3.1

Mova $t^{2}$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 (t^{2} t) + 294 t$

Etapa 1.7.6.6.3.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.6.6.3.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 (t^{2} t^{1}) + 294 t$

Etapa 1.7.6.6.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 t^{2 + 1} + 294 t$

Etapa 1.7.6.6.3.3

Some $2$ e $1$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 t^{3} + 294 t$

Etapa 1.7.6.6.4

Multiplique $6$ por $- 126$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} - 756 t^{3} + 294 t$

Etapa 1.7.7

Some $972 t^{5}$ e $486 t^{5}$ .

$1458 t^{5} - 756 t^{3} - 756 t^{3} + 294 t$

Etapa 1.7.8

Subtraia $756 t^{3}$ de $- 756 t^{3}$ .

$f' (t) = 1458 t^{5} - 1512 t^{3} + 294 t$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1458 t^{5} - 1512 t^{3} + 294 t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1458 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$ .

$\frac{d}{d t} [1458 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d t} [1458 t^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $1458$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1458 t^{5}$ em relação a $t$ é $1458 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ .

$1458 \frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$1458 (5 t^{4}) + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $5$ por $1458$ .

$7290 t^{4} + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 1512$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1512 t^{3}$ em relação a $t$ é $- 1512 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$7290 t^{4} - 1512 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$7290 t^{4} - 1512 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [294 t]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $- 1512$ .

$7290 t^{4} - 4536 t^{2} + \frac{d}{d t} [294 t]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d t} [294 t]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $294$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $294 t$ em relação a $t$ é $294 \frac{d}{d t} [t]$ .

$7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $294$ por $1$ .

$f'' (t) = 7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294$

Etapa 3

A segunda derivada de $g (t)$ com relação a $t$ é $7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294$ .

$7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294$