Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x}{5 x^{2} + 15}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{5 x^{2} + 15}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{5 x^{2} + 15}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{5 x^{2} + 15}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 5 x^{2} + 15$ .

$2 \frac{(5 x^{2} + 15) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 15]}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{(5 x^{2} + 15) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 15]}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $5 x^{2} + 15$ por $1$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 15]}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} + 15$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15])}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15])}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [15])}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Etapa 1.3.6

Multiplique $2$ por $5$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (10 x + \frac{d}{d x} [15])}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Etapa 1.3.7

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (10 x + 0)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Etapa 1.3.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.1

Some $10 x$ e $0$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (10 x)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Etapa 1.3.8.2

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - 10 x \cdot x}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Etapa 1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - 10 (x^{1} x)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Etapa 1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - 10 (x^{1} x^{1})}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Etapa 1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - 10 x^{1 + 1}}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Etapa 1.7

Some $1$ e $1$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - 10 x^{2}}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Etapa 1.8

Subtraia $10 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$2 \frac{- 5 x^{2} + 15}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Etapa 1.9

Combine $2$ e $\frac{- 5 x^{2} + 15}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- 5 x^{2} + 15)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Etapa 1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (- 5 x^{2}) + 2 \cdot 15}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Etapa 1.10.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.2.1

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 2 \cdot 15}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Etapa 1.10.2.2

Multiplique $2$ por $15$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 30}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Etapa 1.10.3

Fatore $10$ de $- 10 x^{2} + 30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.3.1

Fatore $10$ de $- 10 x^{2}$ .

$\frac{10 (- x^{2}) + 30}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Etapa 1.10.3.2

Fatore $10$ de $30$ .

$\frac{10 (- x^{2}) + 10 (3)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Etapa 1.10.3.3

Fatore $10$ de $10 (- x^{2}) + 10 (3)$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Etapa 1.10.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.4.1

Fatore $5$ de $5 x^{2} + 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.4.1.1

Fatore $5$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{{(5 (x^{2}) + 15)}^{2}}$

Etapa 1.10.4.1.2

Fatore $5$ de $15$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{{(5 x^{2} + 5 \cdot 3)}^{2}}$

Etapa 1.10.4.1.3

Fatore $5$ de $5 x^{2} + 5 \cdot 3$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{{(5 (x^{2} + 3))}^{2}}$

Etapa 1.10.4.2

Aplique a regra do produto a $5 (x^{2} + 3)$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{5^{2} {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.10.4.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{25 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.10.5

Cancele o fator comum de $10$ e $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.5.1

Fatore $5$ de $10 (- x^{2} + 3)$ .

$\frac{5 (2 (- x^{2} + 3))}{25 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.10.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.5.2.1

Fatore $5$ de $25 {(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$\frac{5 (2 (- x^{2} + 3))}{5 (5 {(x^{2} + 3)}^{2})}$

Etapa 1.10.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (2 (- x^{2} + 3))}{5 (5 {(x^{2} + 3)}^{2})}$

Etapa 1.10.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (- x^{2} + 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.10.6

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{2 (- (x^{2}) + 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.10.7

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 (- (x^{2}) - 1 (- 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.10.8

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 (- (x^{2} - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.10.9

Reescreva $- (x^{2} - 3)$ como $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (x^{2} - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.10.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{2 (x^{2} - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $- \frac{2}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2 (x^{2} - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$

Etapa 2.2

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.3.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.3.5.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 \cdot {(x^{2} + 3)}^{2} x - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 3$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - (x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - (x^{2} - 3) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 3$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - (x^{2} - 3) (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.5

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (2 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.5.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.2.1

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 3$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) (2 \cdot (x^{2} + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.5.2.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.5.5.3

Multiplique $\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$ por $\frac{2}{5}$ .

$- \frac{(2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x)) \cdot 2}{{(x^{2} + 3)}^{4} \cdot 5}$

Etapa 2.5.5.4

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x)$ .

$- \frac{2 \cdot (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x))}{{(x^{2} + 3)}^{4} \cdot 5}$

Etapa 2.5.5.4.2

Mova $5$ para a esquerda de ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$- \frac{2 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x))}{5 \cdot {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) ((x^{2} + 3) x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.1

Reescreva ${(x^{2} + 3)}^{2}$ como $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3)$ .

$- \frac{2 (2 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3)) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.2

Expanda $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (2 (x^{2} (x^{2} + 3) + 3 (x^{2} + 3)) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 (x^{2} + 3)) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 (2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.3.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$- \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.3.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$- \frac{2 (2 (x^{4} + 3 \cdot x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{2 (2 (x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 9) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.3.2

Some $3 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$- \frac{2 (2 (x^{4} + 6 x^{2} + 9) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 ((2 x^{4} + 2 (6 x^{2}) + 2 \cdot 9) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.5.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$- \frac{2 ((2 x^{4} + 12 x^{2} + 2 \cdot 9) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.5.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$- \frac{2 ((2 x^{4} + 12 x^{2} + 18) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (2 x^{4} x + 12 x^{2} x + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.7.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.7.1.1

Mova $x$ .

$- \frac{2 (2 (x \cdot x^{4}) + 12 x^{2} x + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.7.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.7.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 (2 (x^{1} x^{4}) + 12 x^{2} x + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.7.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 (2 x^{1 + 4} + 12 x^{2} x + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.7.1.3

Some $1$ e $4$ .

$- \frac{2 (2 x^{5} + 12 x^{2} x + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.7.2.1

Mova $x$ .

$- \frac{2 (2 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.7.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.7.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 (2 x^{5} + 12 (x^{1} x^{2}) + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.7.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 (2 x^{5} + 12 x^{1 + 2} + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.7.2.3

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{2 (2 x^{5} + 12 x^{3} + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (2 x^{5}) + 2 (12 x^{3}) + 2 (18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.9.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 2 (12 x^{3}) + 2 (18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.9.2

Multiplique $12$ por $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 2 (18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.9.3

Multiplique $18$ por $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.10

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.11

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.11.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.11.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{2} x^{1} + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.11.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{2 + 1} + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.11.2

Some $2$ e $1$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{3} + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.12

Expanda $(- 4 x^{2} + 12) (x^{3} + 3 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{2} (x^{3} + 3 x) + 12 (x^{3} + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (3 x) + 12 (x^{3} + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.13.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.13.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 \cdot 3 x^{2} x + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.13.1.3.1

Mova $x$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 \cdot 3 (x \cdot x^{2}) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.13.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 \cdot 3 (x^{1} x^{2}) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 \cdot 3 x^{1 + 2} + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 \cdot 3 x^{3} + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13.1.4

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13.1.5

Multiplique $3$ por $12$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} + 36 x)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13.2

Some $- 12 x^{3}$ e $12 x^{3}$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} + 0 + 36 x)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.13.3

Some $- 4 x^{5}$ e $0$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} + 36 x)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.14

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5}) + 2 (36 x)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.15

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x - 8 x^{5} + 2 (36 x)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.16

Multiplique $36$ por $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x - 8 x^{5} + 72 x}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.2

Subtraia $8 x^{5}$ de $4 x^{5}$ .

$- \frac{- 4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 72 x}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.3

Some $36 x$ e $72 x$ .

$- \frac{- 4 x^{5} + 24 x^{3} + 108 x}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.5.1

Fatore $4 x$ de $- 4 x^{5} + 24 x^{3} + 108 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.5.1.1

Fatore $4 x$ de $- 4 x^{5}$ .

$- \frac{4 x (- x^{4}) + 24 x^{3} + 108 x}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.1.2

Fatore $4 x$ de $24 x^{3}$ .

$- \frac{4 x (- x^{4}) + 4 x (6 x^{2}) + 108 x}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.1.3

Fatore $4 x$ de $108 x$ .

$- \frac{4 x (- x^{4}) + 4 x (6 x^{2}) + 4 x (27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.1.4

Fatore $4 x$ de $4 x (- x^{4}) + 4 x (6 x^{2})$ .

$- \frac{4 x (- x^{4} + 6 x^{2}) + 4 x (27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.1.5

Fatore $4 x$ de $4 x (- x^{4} + 6 x^{2}) + 4 x (27)$ .

$- \frac{4 x (- x^{4} + 6 x^{2} + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{4 x (- {(x^{2})}^{2} + 6 x^{2} + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- \frac{4 x (- u^{2} + 6 u + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.4

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.6.5.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 27 = - 27$ e cuja soma é $b = 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.5.4.1.1

Fatore $6$ de $6 u$ .

$- \frac{4 x (- u^{2} + 6 (u) + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.4.1.2

Reescreva $6$ como $- 3$ mais $9$

$- \frac{4 x (- u^{2} + (- 3 + 9) u + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{4 x (- u^{2} - 3 u + 9 u + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.5.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- \frac{4 x ((- u^{2} - 3 u) + 9 u + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- \frac{4 x (u (- u - 3) - 9 (- u - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u - 3$ .

$- \frac{4 x ((- u - 3) (u - 9))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- \frac{4 x ((- x^{2} - 3) (x^{2} - 9))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.6

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{4 x ((- x^{2} - 3) (x^{2} - 3^{2}))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.7

Fatore.

$- \frac{4 x (- x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.6

Cancele o fator comum de $- x^{2} - 3$ e ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

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Etapa 2.6.6.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- \frac{4 x (- (x^{2}) - 3) (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.6.2

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$- \frac{4 x (- (x^{2}) - 1 (3)) (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.6.3

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (3)$ .

$- \frac{4 x (- (x^{2} + 3)) (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.6.4

Reescreva $- (x^{2} + 3)$ como $- 1 (x^{2} + 3)$ .

$- \frac{4 x (- 1 (x^{2} + 3)) (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.6.5

Fatore $x^{2} + 3$ de $4 x (- 1 (x^{2} + 3)) (x + 3) (x - 3)$ .

$- \frac{(x^{2} + 3) ((4 x \cdot (- 1) (x + 3)) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 2.6.6.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.6.6.6.1

Fatore $x^{2} + 3$ de $5 {(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$- \frac{(x^{2} + 3) ((4 x \cdot (- 1) (x + 3)) (x - 3))}{(x^{2} + 3) (5 {(x^{2} + 3)}^{3})}$

Etapa 2.6.6.6.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{(x^{2} + 3) ((4 x \cdot (- 1) (x + 3)) (x - 3))}{(x^{2} + 3) (5 {(x^{2} + 3)}^{3})}$

Etapa 2.6.6.6.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{(4 x \cdot (- 1) (x + 3)) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.6.7

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- \frac{- 4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.6.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{(4 x (x + 3)) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.6.9

Multiplique $- - \frac{4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

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Etapa 2.6.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 2.6.9.2

Multiplique $\frac{4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$