Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x {(x + 4)}^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(x + 4)}^{2}$ como $(x + 4) (x + 4)$ .

$\frac{d}{d x} [3 x ((x + 4) (x + 4))]$

Etapa 1.2

Expanda $(x + 4) (x + 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 x (x (x + 4) + 4 (x + 4))]$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 x (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4))]$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 x (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)]$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)]$

Etapa 1.3.1.2

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4)]$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 4 x + 4 x + 16)]$

Etapa 1.3.2

Some $4 x$ e $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 8 x + 16)]$

Etapa 1.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x (x^{2} + 8 x + 16)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 8 x + 16)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 8 x + 16)]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 8 x + 16$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 16] + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.6

Diferencie.

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Etapa 1.6.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 8 x + 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (x (2 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.6.3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x (2 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.6.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (x (2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.6.5

Multiplique $8$ por $1$ .

$3 (x (2 x + 8 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.6.6

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (x (2 x + 8 + 0) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.6.7

Some $2 x + 8$ e $0$ .

$3 (x (2 x + 8) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.6.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (x (2 x + 8) + (x^{2} + 8 x + 16) \cdot 1)$

Etapa 1.6.9

Multiplique $x^{2} + 8 x + 16$ por $1$ .

$3 (x (2 x + 8) + x^{2} + 8 x + 16)$

Etapa 1.7

Simplifique.

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Etapa 1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x (2 x) + x \cdot 8 + x^{2} + 8 x + 16)$

Etapa 1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x (2 x)) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Etapa 1.7.3

Combine os termos.

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Etapa 1.7.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 (2 (x^{1} x)) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Etapa 1.7.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 (2 (x^{1} x^{1})) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Etapa 1.7.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (2 x^{1 + 1}) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Etapa 1.7.3.4

Some $1$ e $1$ .

$3 (2 x^{2}) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Etapa 1.7.3.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x^{2} + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Etapa 1.7.3.6

Mova $8$ para a esquerda de $x$ .

$6 x^{2} + 3 (8 \cdot x) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Etapa 1.7.3.7

Multiplique $8$ por $3$ .

$6 x^{2} + 24 x + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Etapa 1.7.3.8

Some $6 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$9 x^{2} + 24 x + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

Etapa 1.7.3.9

Multiplique $8$ por $3$ .

$9 x^{2} + 24 x + 24 x + 3 \cdot 16$

Etapa 1.7.3.10

Some $24 x$ e $24 x$ .

$9 x^{2} + 48 x + 3 \cdot 16$

Etapa 1.7.3.11

Multiplique $3$ por $16$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 48 x + 48$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{2} + 48 x + 48$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $48 x$ em relação a $x$ é $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 x + 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$18 x + 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $48$ por $1$ .

$18 x + 48 + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $48$ em relação a $x$ é $0$ .

$18 x + 48 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $18 x + 48$ e $0$ .

$f'' (x) = 18 x + 48$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $18 x + 48$ .

$18 x + 48$