Cálculo Exemplos

$h (z) = (3 - z) (z^{3} - 2 z + 4)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ é $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ , em que $f (z) = 3 - z$ e $g (z) = z^{3} - 2 z + 4$ .

$(3 - z) \frac{d}{d z} [z^{3} - 2 z + 4] + (z^{3} - 2 z + 4) \frac{d}{d z} [3 - z]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $z^{3} - 2 z + 4$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- 2 z] + \frac{d}{d z} [4]$ .

$(3 - z) (\frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- 2 z] + \frac{d}{d z} [4]) + (z^{3} - 2 z + 4) \frac{d}{d z} [3 - z]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(3 - z) (3 z^{2} + \frac{d}{d z} [- 2 z] + \frac{d}{d z} [4]) + (z^{3} - 2 z + 4) \frac{d}{d z} [3 - z]$

Etapa 1.2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $- 2 z$ em relação a $z$ é $- 2 \frac{d}{d z} [z]$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [4]) + (z^{3} - 2 z + 4) \frac{d}{d z} [3 - z]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [4]) + (z^{3} - 2 z + 4) \frac{d}{d z} [3 - z]$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2 + \frac{d}{d z} [4]) + (z^{3} - 2 z + 4) \frac{d}{d z} [3 - z]$

Etapa 1.2.6

Como $4$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $4$ em relação a $z$ é $0$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2 + 0) + (z^{3} - 2 z + 4) \frac{d}{d z} [3 - z]$

Etapa 1.2.7

Some $3 z^{2} - 2$ e $0$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 4) \frac{d}{d z} [3 - z]$

Etapa 1.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - z$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [3] + \frac{d}{d z} [- z]$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 4) (\frac{d}{d z} [3] + \frac{d}{d z} [- z])$

Etapa 1.2.9

Como $3$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $3$ em relação a $z$ é $0$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 4) (0 + \frac{d}{d z} [- z])$

Etapa 1.2.10

Some $0$ e $\frac{d}{d z} [- z]$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 4) \frac{d}{d z} [- z]$

Etapa 1.2.11

Como $- 1$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $- z$ em relação a $z$ é $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 4) (- \frac{d}{d z} [z])$

Etapa 1.2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 4) (- 1 \cdot 1)$

Etapa 1.2.13

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.13.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 4) \cdot - 1$

Etapa 1.2.13.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $z^{3} - 2 z + 4$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2) - 1 \cdot (z^{3} - 2 z + 4)$

Etapa 1.2.13.3

Reescreva $- 1 (z^{3} - 2 z + 4)$ como $- (z^{3} - 2 z + 4)$ .

$(3 - z) (3 z^{2} - 2) - (z^{3} - 2 z + 4)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 - z) (3 z^{2} - 2) - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 - z) (3 z^{2}) + (3 - z) \cdot - 2 - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Etapa 1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (3 z^{2}) - z (3 z^{2}) + (3 - z) \cdot - 2 - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Etapa 1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (3 z^{2}) - z (3 z^{2}) + 3 \cdot - 2 - z \cdot - 2 - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Etapa 1.3.5

Combine os termos.

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Etapa 1.3.5.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$9 z^{2} - z (3 z^{2}) + 3 \cdot - 2 - z \cdot - 2 - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Etapa 1.3.5.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$9 z^{2} - 3 z \cdot z^{2} + 3 \cdot - 2 - z \cdot - 2 - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Etapa 1.3.5.3

Multiplique $z$ por $z^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.5.3.1

Mova $z^{2}$ .

$9 z^{2} - 3 (z^{2} z) + 3 \cdot - 2 - z \cdot - 2 - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Etapa 1.3.5.3.2

Multiplique $z^{2}$ por $z$ .

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Etapa 1.3.5.3.2.1

Eleve $z$ à potência de $1$ .

$9 z^{2} - 3 (z^{2} z^{1}) + 3 \cdot - 2 - z \cdot - 2 - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Etapa 1.3.5.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$9 z^{2} - 3 z^{2 + 1} + 3 \cdot - 2 - z \cdot - 2 - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Etapa 1.3.5.3.3

Some $2$ e $1$ .

$9 z^{2} - 3 z^{3} + 3 \cdot - 2 - z \cdot - 2 - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Etapa 1.3.5.4

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$9 z^{2} - 3 z^{3} - 6 - z \cdot - 2 - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Etapa 1.3.5.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$9 z^{2} - 3 z^{3} - 6 + 2 z - z^{3} - (- 2 z) - 1 \cdot 4$

Etapa 1.3.5.6

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$9 z^{2} - 3 z^{3} - 6 + 2 z - z^{3} + 2 z - 1 \cdot 4$

Etapa 1.3.5.7

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$9 z^{2} - 3 z^{3} - 6 + 2 z - z^{3} + 2 z - 4$

Etapa 1.3.5.8

Subtraia $z^{3}$ de $- 3 z^{3}$ .

$9 z^{2} - 4 z^{3} - 6 + 2 z + 2 z - 4$

Etapa 1.3.5.9

Some $2 z$ e $2 z$ .

$9 z^{2} - 4 z^{3} - 6 + 4 z - 4$

Etapa 1.3.5.10

Subtraia $4$ de $- 6$ .

$9 z^{2} - 4 z^{3} + 4 z - 10$

Etapa 1.3.6

Reordene os termos.

$f' (z) = - 4 z^{3} + 9 z^{2} + 4 z - 10$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 z^{3} + 9 z^{2} + 4 z - 10$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [- 4 z^{3}] + \frac{d}{d z} [9 z^{2}] + \frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [- 10]$ .

$\frac{d}{d z} [- 4 z^{3}] + \frac{d}{d z} [9 z^{2}] + \frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [- 10]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d z} [- 4 z^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $- 4 z^{3}$ em relação a $z$ é $- 4 \frac{d}{d z} [z^{3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [9 z^{2}] + \frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [- 10]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 4 (3 z^{2}) + \frac{d}{d z} [9 z^{2}] + \frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [- 10]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$- 12 z^{2} + \frac{d}{d z} [9 z^{2}] + \frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [- 10]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d z} [9 z^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $9$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $9 z^{2}$ em relação a $z$ é $9 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$- 12 z^{2} + 9 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [- 10]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 12 z^{2} + 9 (2 z) + \frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [- 10]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $9$ .

$- 12 z^{2} + 18 z + \frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [- 10]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d z} [4 z]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $4$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $4 z$ em relação a $z$ é $4 \frac{d}{d z} [z]$ .

$- 12 z^{2} + 18 z + 4 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 10]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 12 z^{2} + 18 z + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- 10]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$- 12 z^{2} + 18 z + 4 + \frac{d}{d z} [- 10]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.5.1

Como $- 10$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $- 10$ em relação a $z$ é $0$ .

$- 12 z^{2} + 18 z + 4 + 0$

Etapa 2.5.2

Some $- 12 z^{2} + 18 z + 4$ e $0$ .

$f'' (z) = - 12 z^{2} + 18 z + 4$

Etapa 3

A segunda derivada de $h (z)$ com relação a $z$ é $- 12 z^{2} + 18 z + 4$ .

$- 12 z^{2} + 18 z + 4$