Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{a x} \sin (b x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{a x}$ e $g (x) = \sin (b x)$ .

$e^{a x} \frac{d}{d x} [\sin (b x)] + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = b x$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $b x$ .

$e^{a x} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [b x]) + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$e^{a x} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [b x]) + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $b x$ .

$e^{a x} (\cos (b x) \frac{d}{d x} [b x]) + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Como $b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $b x$ em relação a $x$ é $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{a x} (\cos (b x) (b \frac{d}{d x} [x])) + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{a x} (\cos (b x) (b \cdot 1)) + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $b$ por $1$ .

$e^{a x} (\cos (b x) b) + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = a x$ .

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Etapa 1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $a x$ .

$e^{a x} (\cos (b x) b) + \sin (b x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [a x])$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{a x} (\cos (b x) b) + \sin (b x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [a x])$

Etapa 1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $a x$ .

$e^{a x} (\cos (b x) b) + \sin (b x) (e^{a x} \frac{d}{d x} [a x])$

Etapa 1.5

Diferencie.

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Etapa 1.5.1

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a x$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{a x} (\cos (b x) b) + \sin (b x) (e^{a x} (a \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{a x} (\cos (b x) b) + \sin (b x) (e^{a x} (a \cdot 1))$

Etapa 1.5.3

Multiplique $a$ por $1$ .

$e^{a x} (\cos (b x) b) + \sin (b x) (e^{a x} a)$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Reordene os termos.

$e^{a x} b \cos (b x) + e^{a x} a \sin (b x)$

Etapa 1.6.2

Reordene os fatores em $e^{a x} b \cos (b x) + e^{a x} a \sin (b x)$ .

$f' (x) = b e^{a x} \cos (b x) + a e^{a x} \sin (b x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $b e^{a x} \cos (b x) + a e^{a x} \sin (b x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [b e^{a x} \cos (b x)] + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$ .

$\frac{d}{d x} [b e^{a x} \cos (b x)] + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [b e^{a x} \cos (b x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $b e^{a x} \cos (b x)$ em relação a $x$ é $b \frac{d}{d x} [e^{a x} \cos (b x)]$ .

$b \frac{d}{d x} [e^{a x} \cos (b x)] + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{a x}$ e $g (x) = \cos (b x)$ .

$b (e^{a x} \frac{d}{d x} [\cos (b x)] + \cos (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = b x$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $b x$ .

$b (e^{a x} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [b x]) + \cos (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

Etapa 2.2.3.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$b (e^{a x} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [b x]) + \cos (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $b x$ .

$b (e^{a x} (- \sin (b x) \frac{d}{d x} [b x]) + \cos (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

Etapa 2.2.4

Como $b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $b x$ em relação a $x$ é $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$b (e^{a x} (- \sin (b x) (b \frac{d}{d x} [x])) + \cos (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$b (e^{a x} (- \sin (b x) (b \cdot 1)) + \cos (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = a x$ .

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Etapa 2.2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $a x$ .

$b (e^{a x} (- \sin (b x) (b \cdot 1)) + \cos (b x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [a x])) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

Etapa 2.2.6.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$b (e^{a x} (- \sin (b x) (b \cdot 1)) + \cos (b x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [a x])) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

Etapa 2.2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $a x$ .

$b (e^{a x} (- \sin (b x) (b \cdot 1)) + \cos (b x) (e^{a x} \frac{d}{d x} [a x])) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

Etapa 2.2.7

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a x$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$b (e^{a x} (- \sin (b x) (b \cdot 1)) + \cos (b x) (e^{a x} (a \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

Etapa 2.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$b (e^{a x} (- \sin (b x) (b \cdot 1)) + \cos (b x) (e^{a x} (a \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

Etapa 2.2.9

Multiplique $b$ por $1$ .

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} (a \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

Etapa 2.2.10

Multiplique $a$ por $1$ .

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a e^{a x} \sin (b x)$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [e^{a x} \sin (b x)]$ .

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a \frac{d}{d x} [e^{a x} \sin (b x)]$

Etapa 2.3.2

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} \frac{d}{d x} [\sin (b x)] + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = b x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $b x$ .

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [b x]) + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}])$

Etapa 2.3.3.2

A derivada de $\sin (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\cos (u_{3})$ .

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [b x]) + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}])$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $b x$ .

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) \frac{d}{d x} [b x]) + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}])$

Etapa 2.3.4

Como $b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $b x$ em relação a $x$ é $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) (b \frac{d}{d x} [x])) + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}])$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) (b \cdot 1)) + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}])$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = a x$ .

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Etapa 2.3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{4}$ como $a x$ .

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) (b \cdot 1)) + \sin (b x) (\frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d x} [a x]))$

Etapa 2.3.6.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ é $a^{u_{4}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) (b \cdot 1)) + \sin (b x) (e^{u_{4}} \frac{d}{d x} [a x]))$

Etapa 2.3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{4}$ por $a x$ .

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) (b \cdot 1)) + \sin (b x) (e^{a x} \frac{d}{d x} [a x]))$

Etapa 2.3.7

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a x$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) (b \cdot 1)) + \sin (b x) (e^{a x} (a \frac{d}{d x} [x])))$

Etapa 2.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) (b \cdot 1)) + \sin (b x) (e^{a x} (a \cdot 1)))$

Etapa 2.3.9

Multiplique $b$ por $1$ .

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b) + \sin (b x) (e^{a x} (a \cdot 1)))$

Etapa 2.3.10

Multiplique $a$ por $1$ .

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b) + \sin (b x) (e^{a x} a))$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b)) + b (\cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b) + \sin (b x) (e^{a x} a))$

Etapa 2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b)) + b (\cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b)) + a (\sin (b x) (e^{a x} a))$

Etapa 2.4.3

Combine os termos.

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Etapa 2.4.3.1

Eleve $b$ à potência de $1$ .

$b^{1} b (e^{a x} (- \sin (b x))) + b (\cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b)) + a (\sin (b x) (e^{a x} a))$

Etapa 2.4.3.2

Eleve $b$ à potência de $1$ .

$b^{1} b^{1} (e^{a x} (- \sin (b x))) + b (\cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b)) + a (\sin (b x) (e^{a x} a))$

Etapa 2.4.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$b^{1 + 1} (e^{a x} (- \sin (b x))) + b (\cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b)) + a (\sin (b x) (e^{a x} a))$

Etapa 2.4.3.4

Some $1$ e $1$ .

$b^{2} (e^{a x} (- \sin (b x))) + b (\cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b)) + a (\sin (b x) (e^{a x} a))$

Etapa 2.4.3.5

Eleve $a$ à potência de $1$ .

$b^{2} (e^{a x} (- \sin (b x))) + b (\cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b)) + a^{1} a (\sin (b x) (e^{a x}))$

Etapa 2.4.3.6

Eleve $a$ à potência de $1$ .

$b^{2} (e^{a x} (- \sin (b x))) + b (\cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b)) + a^{1} a^{1} (\sin (b x) (e^{a x}))$

Etapa 2.4.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$b^{2} (e^{a x} (- \sin (b x))) + b (\cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b)) + a^{1 + 1} (\sin (b x) (e^{a x}))$

Etapa 2.4.3.8

Some $1$ e $1$ .

$b^{2} (e^{a x} (- \sin (b x))) + b (\cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b)) + a^{2} (\sin (b x) (e^{a x}))$

Etapa 2.4.3.9

Mova $e^{a x}$ .

$b^{2} (e^{a x} (- \sin (b x))) + a b e^{a x} \cos (b x) + a b e^{a x} \cos (b x) + a^{2} (\sin (b x) (e^{a x}))$

Etapa 2.4.3.10

Some $a b e^{a x} \cos (b x)$ e $a b e^{a x} \cos (b x)$ .

$b^{2} (e^{a x} (- \sin (b x))) + 2 a b e^{a x} \cos (b x) + a^{2} (\sin (b x) (e^{a x}))$

Etapa 2.4.4

Reordene os termos.

$- e^{a x} b^{2} \sin (b x) + 2 e^{a x} a b \cos (b x) + e^{a x} a^{2} \sin (b x)$

Etapa 2.4.5

Reordene os fatores em $- e^{a x} b^{2} \sin (b x) + 2 e^{a x} a b \cos (b x) + e^{a x} a^{2} \sin (b x)$ .

$f'' (x) = - b^{2} e^{a x} \sin (b x) + 2 a b e^{a x} \cos (b x) + a^{2} e^{a x} \sin (b x)$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- b^{2} e^{a x} \sin (b x) + 2 a b e^{a x} \cos (b x) + a^{2} e^{a x} \sin (b x)$ .

$- b^{2} e^{a x} \sin (b x) + 2 a b e^{a x} \cos (b x) + a^{2} e^{a x} \sin (b x)$