Cálculo Exemplos

$y (x) = (9 x^{2} - 7 x) (18 x - \frac{97}{x})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 9 x^{2} - 7 x$ e $g (x) = 18 x - \frac{97}{x}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) \frac{d}{d x} [18 x - \frac{97}{x}] + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $18 x - \frac{97}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Etapa 1.2.2

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18 x$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $18$ por $1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Etapa 1.2.5

Como $- 97$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{97}{x}$ em relação a $x$ é $- 97 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Etapa 1.2.6

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Etapa 1.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 (- x^{- 2})) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Etapa 1.2.8

Multiplique $- 1$ por $- 97$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Etapa 1.2.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{2} - 7 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Etapa 1.2.10

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Etapa 1.2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Etapa 1.2.12

Multiplique $2$ por $9$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Etapa 1.2.13

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7 \cdot 1)$

Etapa 1.2.15

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 \frac{1}{x^{2}}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

Etapa 1.3.2

Combine $97$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + \frac{97}{x^{2}}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

Etapa 1.3.3

Reordene os termos.

$(18 + \frac{97}{x^{2}}) (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.4.1

Expanda $(18 + \frac{97}{x^{2}}) (9 x^{2} - 7 x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$18 (9 x^{2} - 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$18 (9 x^{2}) + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$18 (9 x^{2}) + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.4.2.1

Multiplique $9$ por $18$ .

$162 x^{2} + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.2.2

Multiplique $- 7$ por $18$ .

$162 x^{2} - 126 x + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$162 x^{2} - 126 x + 9 \frac{97}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.2.4

Multiplique $9 \frac{97}{x^{2}}$ .

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Etapa 1.3.4.2.4.1

Combine $9$ e $\frac{97}{x^{2}}$ .

$162 x^{2} - 126 x + \frac{9 \cdot 97}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.2.4.2

Multiplique $9$ por $97$ .

$162 x^{2} - 126 x + \frac{873}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.2.5

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.3.4.2.5.1

Cancele o fator comum.

$162 x^{2} - 126 x + \frac{873}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.2.5.2

Reescreva a expressão.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.2.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - 7 \frac{97}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.2.7

Multiplique $- 7 \frac{97}{x^{2}}$ .

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Etapa 1.3.4.2.7.1

Combine $- 7$ e $\frac{97}{x^{2}}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 7 \cdot 97}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.2.7.2

Multiplique $- 7$ por $97$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.2.8

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.3.4.2.8.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x \cdot x} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.2.8.2

Cancele o fator comum.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x \cdot x} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.2.8.3

Reescreva a expressão.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x} + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.3

Expanda $(18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.4.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x - \frac{97}{x}) - 7 (18 x - \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x - \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.4.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 x \cdot x + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.4.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.4.4.2.1

Mova $x$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 (x \cdot x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.4.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 x^{2} + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.4.3

Multiplique $18$ por $18$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.4.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.3.4.4.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{97}{x}$ para o numerador.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 x \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.4.4.2

Fatore $x$ de $18 x$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + x \cdot 18 \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.4.4.3

Cancele o fator comum.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + x \cdot 18 \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.4.4.4

Reescreva a expressão.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 \cdot - 97 - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.4.5

Multiplique $18$ por $- 97$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.4.6

Multiplique $18$ por $- 7$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x - 7 (- \frac{97}{x})$

Etapa 1.3.4.4.7

Multiplique $- 7 (- \frac{97}{x})$ .

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Etapa 1.3.4.4.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + 7 \frac{97}{x}$

Etapa 1.3.4.4.7.2

Combine $7$ e $\frac{97}{x}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{7 \cdot 97}{x}$

Etapa 1.3.4.4.7.3

Multiplique $7$ por $97$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{679}{x}$

Etapa 1.3.5

Combine os termos opostos em $162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{679}{x}$ .

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Etapa 1.3.5.1

Some $- \frac{679}{x}$ e $\frac{679}{x}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + 0$

Etapa 1.3.5.2

Some $162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x$ e $0$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x$

Etapa 1.3.6

Some $162 x^{2}$ e $324 x^{2}$ .

$486 x^{2} - 126 x + 873 - 1746 - 126 x$

Etapa 1.3.7

Subtraia $126 x$ de $- 126 x$ .

$486 x^{2} - 252 x + 873 - 1746$

Etapa 1.3.8

Subtraia $1746$ de $873$ .

$f' (x) = 486 x^{2} - 252 x - 873$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $486 x^{2} - 252 x - 873$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [486 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$ .

$\frac{d}{d x} [486 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [486 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $486$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $486 x^{2}$ em relação a $x$ é $486 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$486 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$486 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $486$ .

$972 x + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 252 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 252$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 252 x$ em relação a $x$ é $- 252 \frac{d}{d x} [x]$ .

$972 x - 252 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$972 x - 252 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 873]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 252$ por $1$ .

$972 x - 252 + \frac{d}{d x} [- 873]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- 873$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 873$ em relação a $x$ é $0$ .

$972 x - 252 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $972 x - 252$ e $0$ .

$f'' (x) = 972 x - 252$

Etapa 3

A segunda derivada de $y (x)$ com relação a $x$ é $972 x - 252$ .

$972 x - 252$