Cálculo Exemplos

$f (y) = (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (y + 3 y^{3})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = \frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}$ e $g (y) = y + 3 y^{3}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) \frac{d}{d y} [y + 3 y^{3}] + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 3 y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{3}]$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{3}]) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + \frac{d}{d y} [3 y^{3}]) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

Etapa 1.2.3

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y^{3}$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 3 \frac{d}{d y} [y^{3}]) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 3 (3 y^{2})) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

Etapa 1.2.5

Multiplique $3$ por $3$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

Etapa 1.2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}]$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

Etapa 1.2.7

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Reescreva $\frac{1}{y^{2}}$ como ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

Etapa 1.2.7.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [y^{2 \cdot - 1}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

Etapa 1.2.7.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [y^{- 2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

Etapa 1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

Etapa 1.2.9

Como $- 5$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- \frac{5}{y^{4}}$ em relação a $y$ é $- 5 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}])$

Etapa 1.2.10

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.1

Reescreva $\frac{1}{y^{4}}$ como ${(y^{4})}^{- 1}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}])$

Etapa 1.2.10.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{4})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [y^{4 \cdot - 1}])$

Etapa 1.2.10.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [y^{- 4}])$

Etapa 1.2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = - 4$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 (- 4 y^{- 5}))$

Etapa 1.2.12

Multiplique $- 4$ por $- 5$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} + 20 y^{- 5})$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 \frac{1}{y^{3}} + 20 y^{- 5})$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 \frac{1}{y^{3}} + 20 \frac{1}{y^{5}})$

Etapa 1.3.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{y^{3}}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{- 2}{y^{3}} + 20 \frac{1}{y^{5}})$

Etapa 1.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- \frac{2}{y^{3}} + 20 \frac{1}{y^{5}})$

Etapa 1.3.3.3

Combine $20$ e $\frac{1}{y^{5}}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}})$

Etapa 1.3.4

Reordene os termos.

$(1 + 9 y^{2}) (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Etapa 1.3.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Expanda $(1 + 9 y^{2}) (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \frac{1}{y^{2}} + 1 (- \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \frac{1}{y^{2}} + 1 (- \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1.1

Multiplique $\frac{1}{y^{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} + 1 (- \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.2.1.2

Multiplique $- \frac{5}{y^{4}}$ por $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 y^{2} \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.2.1.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1.3.1

Fatore $y^{2}$ de $9 y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + y^{2} \cdot 9 \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + y^{2} \cdot 9 \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.2.1.4

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5}{y^{4}}$ para o numerador.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + 9 y^{2} \frac{- 5}{y^{4}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.2.1.4.2

Fatore $y^{2}$ de $9 y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + y^{2} \cdot 9 \frac{- 5}{y^{4}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.2.1.4.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + y^{2} \cdot 9 \frac{- 5}{y^{2} y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.2.1.4.4

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + y^{2} \cdot 9 \frac{- 5}{y^{2} y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.2.1.4.5

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + 9 \frac{- 5}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.2.1.5

Combine $9$ e $\frac{- 5}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{9 \cdot - 5}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.2.1.6

Multiplique $9$ por $- 5$ .

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 45}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{45}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - 45}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.2.3

Subtraia $45$ de $1$ .

$\frac{- 44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.4

Expanda $(- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{3}} (y + 3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} (y + 3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{3}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} (y + 3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{3}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.5.1.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.5.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{y^{3}}$ para o numerador.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y^{3}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.5.1.1.2

Fatore $y$ de $y^{3}$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y \cdot y^{2}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.5.1.1.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y \cdot y^{2}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.5.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y^{2}} - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.5.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.5.1.3

Cancele o fator comum de $y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.5.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{y^{3}}$ para o numerador.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} + \frac{- 2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.5.1.3.2

Fatore $y^{3}$ de $3 y^{3}$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} + \frac{- 2}{y^{3}} (y^{3} \cdot 3) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.5.1.3.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} + \frac{- 2}{y^{3}} (y^{3} \cdot 3) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.5.1.3.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 2 \cdot 3 + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.5.1.4

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.5.1.5

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.5.1.5.1

Fatore $y$ de $y^{5}$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y \cdot y^{4}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.5.1.5.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y \cdot y^{4}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.5.1.5.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Etapa 1.3.5.5.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + 3 \frac{20}{y^{5}} y^{3}$

Etapa 1.3.5.5.1.7

Multiplique $3 \frac{20}{y^{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.5.1.7.1

Combine $3$ e $\frac{20}{y^{5}}$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{3 \cdot 20}{y^{5}} y^{3}$

Etapa 1.3.5.5.1.7.2

Multiplique $3$ por $20$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{5}} y^{3}$

Etapa 1.3.5.5.1.8

Cancele o fator comum de $y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.5.1.8.1

Fatore $y^{3}$ de $y^{5}$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{3} y^{2}} y^{3}$

Etapa 1.3.5.5.1.8.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{3} y^{2}} y^{3}$

Etapa 1.3.5.5.1.8.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{2}}$

Etapa 1.3.5.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2 + 60}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}}$

Etapa 1.3.5.5.3

Some $- 2$ e $60$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{58}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}}$

Etapa 1.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$9 - 6 + \frac{- 44 + 58}{y^{2}} + \frac{- 5 + 20}{y^{4}}$

Etapa 1.3.7

Some $- 44$ e $58$ .

$9 - 6 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{- 5 + 20}{y^{4}}$

Etapa 1.3.8

Some $- 5$ e $20$ .

$9 - 6 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{15}{y^{4}}$

Etapa 1.3.9

Subtraia $6$ de $9$ .

$f' (y) = 3 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{15}{y^{4}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{15}{y^{4}}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Etapa 2.1.2

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $14$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{14}{y^{2}}$ em relação a $y$ é $14 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$0 + 14 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{y^{2}}$ como ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$0 + 14 \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = y^{2}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y^{2}$ .

$0 + 14 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$0 + 14 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y^{2}$ .

$0 + 14 (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 14 (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Etapa 2.2.5

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 14 (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Etapa 2.2.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$0 + 14 (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Etapa 2.2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 + 14 (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Etapa 2.2.7

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$0 + 14 (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Etapa 2.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$0 + 14 (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Etapa 2.2.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$0 + 14 (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Etapa 2.2.10

Multiplique $- 2$ por $14$ .

$0 - 28 y^{- 3} + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $15$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{15}{y^{4}}$ em relação a $y$ é $15 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{y^{4}}$ como ${(y^{4})}^{- 1}$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = y^{4}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y^{4}$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{4}])$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}])$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y^{4}$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- {(y^{4})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3}))$

Etapa 2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(y^{4})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- y^{4 \cdot - 2} (4 y^{3}))$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- y^{- 8} (4 y^{3}))$

Etapa 2.3.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 y^{- 8} y^{3})$

Etapa 2.3.7

Multiplique $y^{- 8}$ por $y^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.7.1

Mova $y^{3}$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 (y^{3} y^{- 8}))$

Etapa 2.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 y^{3 - 8})$

Etapa 2.3.7.3

Subtraia $8$ de $3$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 y^{- 5})$

Etapa 2.3.8

Multiplique $- 4$ por $15$ .

$0 - 28 y^{- 3} - 60 y^{- 5}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 28 \frac{1}{y^{3}} - 60 y^{- 5}$

Etapa 2.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 28 \frac{1}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

Etapa 2.4.3

Combine os termos.

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Etapa 2.4.3.1

Combine $- 28$ e $\frac{1}{y^{3}}$ .

$0 + \frac{- 28}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

Etapa 2.4.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - \frac{28}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

Etapa 2.4.3.3

Subtraia $\frac{28}{y^{3}}$ de $0$ .

$- \frac{28}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

Etapa 2.4.3.4

Combine $- 60$ e $\frac{1}{y^{5}}$ .

$- \frac{28}{y^{3}} + \frac{- 60}{y^{5}}$

Etapa 2.4.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (y) = - \frac{28}{y^{3}} - \frac{60}{y^{5}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (y)$ com relação a $y$ é $- \frac{28}{y^{3}} - \frac{60}{y^{5}}$ .

$- \frac{28}{y^{3}} - \frac{60}{y^{5}}$