Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 \sqrt{1 + x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + x^{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 1.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 1.8

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 1.9

Mova ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Etapa 1.10

Combine $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $4$ .

$\frac{4}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 1.11

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 1.12

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.12.1

Fatore $2$ de $2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 1.12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 1.12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 1.13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.14

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.15

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Etapa 1.17

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.17.1

Combine $2$ e $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Etapa 1.17.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Etapa 1.17.3

Combine $\frac{4}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{4 x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.17.4

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.5.2

Multiplique ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.11

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.11.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.11.3

Mova ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.11.4

Combine $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.14

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.15

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.1

Some $2 x$ e $0$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.15.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.15.3

Combine $- 2$ e $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.15.4

Combine $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.16

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.17

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.18

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.19

Some $1$ e $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.20

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.21

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.21.1

Fatore $2$ de $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.21.2

Cancele o fator comum.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.21.3

Reescreva a expressão.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.22

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.23

Para escrever ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.24

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.25

Multiplique ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.25.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.25.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.25.3

Some $1$ e $1$ .

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.25.4

Divida $2$ por $2$ .

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{1} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.26

Simplifique ${(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$4 \frac{\frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.27

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$4 \frac{\frac{0 + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.28

Some $0$ e $1$ .

$4 \frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.29

Reescreva $\frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ como um produto.

$4 (\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1})$

Etapa 2.30

Multiplique $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Etapa 2.31

Multiplique ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 1$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.31.1

Multiplique ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.31.1.1

Eleve $x^{2} + 1$ à potência de $1$ .

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Etapa 2.31.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 2.31.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 2.31.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 2.31.4

Some $1$ e $2$ .

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.32

Combine $4$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$

Etapa 3.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ como ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Etapa 3.1.2.2.2

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 3.1.2.2.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Etapa 3.1.2.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3}{2}}]$

Etapa 3.1.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{3}{2}$ .

$4 (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 3.6.2

Subtraia $2$ de $- 3$ .

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 3.8

Combine ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ e $\frac{3}{2}$ .

$4 (- \frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 3.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.9.1

Mova $3$ para a esquerda de ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$4 (- \frac{3 \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 3.9.2

Mova ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 3.9.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 (\frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 3.10

Combine $\frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ e $- 4$ .

$\frac{3 \cdot - 4}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 3.11

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$\frac{- 12}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 3.12

Fatore $2$ de $- 12$ .

$\frac{2 \cdot - 6}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 3.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.13.1

Fatore $2$ de $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 6}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 3.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 6}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 3.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 3.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 3.15

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 3.16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 3.17

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x + 0)$

Etapa 3.18

Combine frações.

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Etapa 3.18.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x)$

Etapa 3.18.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

Etapa 3.18.3

Combine $- 2$ e $\frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

Etapa 3.18.4

Multiplique $- 2$ por $6$ .

$\frac{- 12}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

Etapa 3.18.5

Combine $\frac{- 12}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{- 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 3.18.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f''' (x) = - \frac{12 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 4

A terceira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{12 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$