Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 \arctan (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \arctan (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\arctan (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$3 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.3

Combine frações.

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Etapa 1.3.1

Combine $3$ e $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{3}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{x^{2} + 1}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$

Etapa 2.1.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$3 (- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 ({(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 3 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- 3 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$- 6 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Combine $- 6$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 6}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Etapa 2.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Etapa 2.4.2.3

Combine $x$ e $\frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 6}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2.4

Mova $6$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{6 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{6 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.3.3

Multiplique ${(x^{2} + 1)}^{2}$ por $1$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.2

Fatore $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

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Etapa 3.5.2.1

Fatore $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- 6 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.2.2

Fatore $x^{2} + 1$ de $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$- 6 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.2.3

Fatore $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$- 6 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 3.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.6.1

Fatore $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$- 6 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.6.2

Cancele o fator comum.

$- 6 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.6.3

Reescreva a expressão.

$- 6 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 6 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 6 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 6 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- 6 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.10.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 6 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 6 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 6 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 6 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.14

Some $1$ e $1$ .

$- 6 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.15

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 6 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.16

Combine $- 6$ e $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 6 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.18

Simplifique.

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Etapa 3.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.18.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.18.2.1

Multiplique $- 3$ por $6$ .

$- \frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.18.2.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$- \frac{- 18 x^{2} + 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.18.3

Fatore $6$ de $- 18 x^{2} + 6$ .

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Etapa 3.18.3.1

Fatore $6$ de $- 18 x^{2}$ .

$- \frac{6 (- 3 x^{2}) + 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.18.3.2

Fatore $6$ de $6$ .

$- \frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.18.3.3

Fatore $6$ de $6 (- 3 x^{2}) + 6 (1)$ .

$- \frac{6 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.18.4

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{6 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.18.5

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{6 (- (3 x^{2}) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.18.6

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{6 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.18.7

Reescreva $- (3 x^{2} - 1)$ como $- 1 (3 x^{2} - 1)$ .

$- \frac{6 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.18.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{6 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.18.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{6 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.18.10

Multiplique $\frac{6 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ por $1$ .

$f''' (x) = \frac{6 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 4

A terceira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{6 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{6 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$