Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 a^{3 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 a^{3 x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências generalizada, que determina que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ é $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , em que $f = a$ e $g = 3 x$ .

$3 (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 1.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$3 (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 1.3.2.2

Multiplique $x$ por $0$ .

$3 (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 1.3.2.3

Multiplique $0$ por $a^{3 x - 1}$ .

$3 (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 1.3.2.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$3 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 1.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln (a))$

Etapa 1.3.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln (a))$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 \cdot 1 (a^{3 x} \ln (a))$

Etapa 1.3.6

Multiplique $9$ por $1$ .

$f' (x) = 9 a^{3 x} \ln (a)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $9 \ln (a)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 a^{3 x} \ln (a)$ em relação a $x$ é $9 \ln (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$9 \ln (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências generalizada, que determina que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ é $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , em que $f = a$ e $g = 3 x$ .

$9 \ln (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a$ em relação a $x$ é $0$ .

$9 \ln (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 2.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$9 \ln (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique $x$ por $0$ .

$9 \ln (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 2.3.2.3

Multiplique $0$ por $a^{3 x - 1}$ .

$9 \ln (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 2.3.2.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$9 \ln (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 2.4

Eleve $\ln (a)$ à potência de $1$ .

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{1} (a) \ln (a))))$

Etapa 2.5

Eleve $\ln (a)$ à potência de $1$ .

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{1} (a) \ln^{1} (a))))$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{1 + 1}))$

Etapa 2.7

Some $1$ e $1$ .

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{2} (a)))$

Etapa 2.8

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

Etapa 2.9

Multiplique $3$ por $9$ .

$27 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$27 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

Etapa 2.11

Multiplique $27$ por $1$ .

$f'' (x) = 27 a^{3 x} \ln^{2} (a)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $27 \ln^{2} (a)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27 a^{3 x} \ln^{2} (a)$ em relação a $x$ é $27 \ln^{2} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$27 \ln^{2} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências generalizada, que determina que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ é $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , em que $f = a$ e $g = 3 x$ .

$27 \ln^{2} (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a$ em relação a $x$ é $0$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 3.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $x$ por $0$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique $0$ por $a^{3 x - 1}$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 3.3.2.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$27 \ln^{2} (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 3.4

Eleve $\ln (a)$ à potência de $1$ .

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{2} (a) \ln^{1} (a))))$

Etapa 3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{2 + 1}))$

Etapa 3.6

Some $2$ e $1$ .

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{3} (a)))$

Etapa 3.7

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$27 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

Etapa 3.8

Multiplique $3$ por $27$ .

$81 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$81 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

Etapa 3.10

Multiplique $81$ por $1$ .

$f''' (x) = 81 a^{3 x} \ln^{3} (a)$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Como $81 \ln^{3} (a)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $81 a^{3 x} \ln^{3} (a)$ em relação a $x$ é $81 \ln^{3} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$81 \ln^{3} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências generalizada, que determina que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ é $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , em que $f = a$ e $g = 3 x$ .

$81 \ln^{3} (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.3.1

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a$ em relação a $x$ é $0$ .

$81 \ln^{3} (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 4.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$81 \ln^{3} (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $x$ por $0$ .

$81 \ln^{3} (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $0$ por $a^{3 x - 1}$ .

$81 \ln^{3} (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 4.3.2.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$81 \ln^{3} (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Etapa 4.4

Eleve $\ln (a)$ à potência de $1$ .

$81 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{3} (a) \ln^{1} (a))))$

Etapa 4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$81 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{3 + 1}))$

Etapa 4.6

Some $3$ e $1$ .

$81 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{4} (a)))$

Etapa 4.7

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$81 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{4} (a))$

Etapa 4.8

Multiplique $3$ por $81$ .

$243 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{4} (a))$

Etapa 4.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$243 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{4} (a))$

Etapa 4.10

Multiplique $243$ por $1$ .

$f^{4} (x) = 243 a^{3 x} \ln^{4} (a)$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $243 a^{3 x} \ln^{4} (a)$ .

$243 a^{3 x} \ln^{4} (a)$