Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 \tan (x) + 2 \cot (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 \tan (x) + 2 \cot (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 \tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \tan (x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \tan (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x)]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$3 \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [2 \cot (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cot (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cot (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$3 \sec^{2} (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$3 \sec^{2} (x) + 2 (- \csc^{2} (x))$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = 3 \sec^{2} (x) - 2 \csc^{2} (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 \sec^{2} (x) - 2 \csc^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \sec^{2} (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \sec^{2} (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (x)$ .

$3 (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Etapa 2.2.3

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$3 (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Etapa 2.2.4

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$3 (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Etapa 2.2.5

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$3 (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Etapa 2.2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Etapa 2.2.7

Some $1$ e $1$ .

$3 (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Etapa 2.2.8

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \csc^{2} (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\csc (x)$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\csc (x)$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 2.3.3

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (- 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Etapa 2.3.5

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (- 2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x))$

Etapa 2.3.6

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (- 2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x))$

Etapa 2.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (- 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x))$

Etapa 2.3.8

Some $1$ e $1$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (- 2 \csc^{2} (x) \cot (x))$

Etapa 2.3.9

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 6 \sec^{2} (x) \tan (x) + 4 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 \sec^{2} (x) \tan (x) + 4 \csc^{2} (x) \cot (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 \sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 \sec^{2} (x) \tan (x)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sec^{2} (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$6 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Etapa 3.2.3

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$6 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

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Etapa 3.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (x)$ .

$6 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Etapa 3.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Etapa 3.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (x)$ .

$6 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Etapa 3.2.5

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$6 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Etapa 3.2.6

Multiplique $\sec^{2} (x)$ por $\sec^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.6.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Etapa 3.2.6.2

Some $2$ e $2$ .

$6 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Etapa 3.2.7

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Etapa 3.2.8

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Etapa 3.2.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Etapa 3.2.10

Some $1$ e $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Etapa 3.2.11

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Etapa 3.2.12

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Etapa 3.2.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Etapa 3.2.14

Some $1$ e $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \csc^{2} (x) \cot (x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \csc^{2} (x)$ e $g (x) = \cot (x)$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Etapa 3.3.3

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

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Etapa 3.3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\csc (x)$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Etapa 3.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Etapa 3.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\csc (x)$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Etapa 3.3.5

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Etapa 3.3.6

Multiplique $\csc^{2} (x)$ por $\csc^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.6.1

Mova $\csc^{2} (x)$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{2} (x) \csc^{2} (x) \cdot - 1 + \cot (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Etapa 3.3.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 ({\csc (x)}^{2 + 2} \cdot - 1 + \cot (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Etapa 3.3.6.3

Some $2$ e $2$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{4} (x) \cdot - 1 + \cot (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Etapa 3.3.7

Mova $- 1$ para a esquerda de $\csc^{4} (x)$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- 1 \cdot \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Etapa 3.3.8

Reescreva $- 1 \csc^{4} (x)$ como $- \csc^{4} (x)$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Etapa 3.3.9

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (- 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))))$

Etapa 3.3.10

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (- 2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)))$

Etapa 3.3.11

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (- 2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)))$

Etapa 3.3.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (- 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)))$

Etapa 3.3.13

Some $1$ e $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)))$

Etapa 3.3.14

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) - 2 \csc^{2} (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)))$

Etapa 3.3.15

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) - 2 \csc^{2} (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)))$

Etapa 3.3.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) - 2 \csc^{2} (x) {\cot (x)}^{1 + 1})$

Etapa 3.3.17

Some $1$ e $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) - 2 \csc^{2} (x) \cot^{2} (x))$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 \sec^{4} (x) + 6 (2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) - 2 \csc^{2} (x) \cot^{2} (x))$

Etapa 3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$6 \sec^{4} (x) + 6 (2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x)) + 4 (- 2 \csc^{2} (x) \cot^{2} (x))$

Etapa 3.4.3

Combine os termos.

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Etapa 3.4.3.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$6 \sec^{4} (x) + 12 (\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x)) + 4 (- 2 \csc^{2} (x) \cot^{2} (x))$

Etapa 3.4.3.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$6 \sec^{4} (x) + 12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - 4 \csc^{4} (x) + 4 (- 2 \csc^{2} (x) \cot^{2} (x))$

Etapa 3.4.3.3

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$6 \sec^{4} (x) + 12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - 4 \csc^{4} (x) - 8 \csc^{2} (x) \cot^{2} (x)$

Etapa 3.4.4

Reordene os termos.

$f''' (x) = 12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) + 6 \sec^{4} (x) - 4 \csc^{4} (x)$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) + 6 \sec^{4} (x) - 4 \csc^{4} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.2

$12 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

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Etapa 4.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\tan (x)$ .

$12 (\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 (\sec^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\tan (x)$ .

$12 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.4

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$12 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

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Etapa 4.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sec (x)$ .

$12 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sec (x)$ .

$12 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.6

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$12 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.7

Multiplique $\sec^{2} (x)$ por $\sec^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.7.1

Mova $\sec^{2} (x)$ .

$12 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 ({\sec (x)}^{2 + 2} (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.7.3

Some $2$ e $2$ .

$12 (\sec^{4} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.8

Mova $2$ para a esquerda de $\sec^{4} (x)$ .

$12 (2 \cdot \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.9

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.10

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.12

Some $1$ e $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.13

Multiplique $\tan^{2} (x)$ por $\tan (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.13.1

Mova $\tan (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.13.2

Multiplique $\tan (x)$ por $\tan^{2} (x)$ .

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Etapa 4.2.13.2.1

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.13.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 2} (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.13.3

Some $1$ e $2$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.14

Mova $2$ para a esquerda de $\tan^{3} (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)]$ .

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Etapa 4.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc^{2} (x)]$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cot^{2} (x)$ e $g (x) = \csc^{2} (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)] + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

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Etapa 4.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $\csc (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ é $n {u_{3}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $\csc (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3.4

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cot (x)$ .

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Etapa 4.3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{4}$ como $\cot (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ é $n {u_{4}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 u_{4} \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{4}$ por $\cot (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3.6

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (- 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3.8

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (- 2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3.9

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (- 2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (- 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3.11

Some $1$ e $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3.12

Multiplique $\cot^{2} (x)$ por $\cot (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.12.1

Mova $\cot (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot (x) \cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3.12.2

Multiplique $\cot (x)$ por $\cot^{2} (x)$ .

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Etapa 4.3.12.2.1

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{1} (x) \cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3.12.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 ({\cot (x)}^{1 + 2} (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3.12.3

Some $1$ e $2$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3.13

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (- 2 \cot (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3.14

Multiplique $\csc^{2} (x)$ por $\csc^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.14.1

Mova $\csc^{2} (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) \csc^{2} (x) (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3.14.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + {\csc (x)}^{2 + 2} (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3.14.3

Some $2$ e $2$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.4

Avalie $\frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)]$ .

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Etapa 4.4.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 \sec^{4} (x)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

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Etapa 4.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{5}$ como $\sec (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ é $n {u_{5}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 (4 {u_{5}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{5}$ por $\sec (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.4.3

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.4.4

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 (4 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 (4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.4.6

Some $1$ e $3$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 (4 \sec^{4} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.4.7

Multiplique $4$ por $6$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$ .

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Etapa 4.5.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 \csc^{4} (x)$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (x)]$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (x)]$

Etapa 4.5.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

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Etapa 4.5.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{6}$ como $\csc (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (\frac{d}{d u_{6}} [{u_{6}}^{4}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 4.5.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{6}} [{u_{6}}^{n}]$ é $n {u_{6}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (4 {u_{6}}^{3} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 4.5.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{6}$ por $\csc (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (4 \csc^{3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 4.5.3

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (4 \csc^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Etapa 4.5.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (- 4 \csc^{3} (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Etapa 4.5.5

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (- 4 (\csc^{1} (x) \csc^{3} (x)) \cot (x))$

Etapa 4.5.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (- 4 {\csc (x)}^{1 + 3} \cot (x))$

Etapa 4.5.7

Some $1$ e $3$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (- 4 \csc^{4} (x) \cot (x))$

Etapa 4.5.8

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Etapa 4.6

Simplifique.

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Etapa 4.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x)) + 12 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Etapa 4.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x)) + 12 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x))) - 8 (\csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Etapa 4.6.3

Combine os termos.

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Etapa 4.6.3.1

Multiplique $2$ por $12$ .

$24 (\sec^{4} (x) \tan (x)) + 12 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x))) - 8 (\csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Etapa 4.6.3.2

Multiplique $2$ por $12$ .

$24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 24 (\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x))) - 8 (\csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Etapa 4.6.3.3

Multiplique $- 2$ por $- 8$ .

$24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 24 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + 16 (\cot^{3} (x) (\csc^{2} (x))) - 8 (\csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Etapa 4.6.3.4

Multiplique $- 2$ por $- 8$ .

$24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 24 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + 16 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 16 (\csc^{4} (x) (\cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Etapa 4.6.3.5

Some $24 \sec^{4} (x) \tan (x)$ e $24 \sec^{4} (x) \tan (x)$ .

$48 \sec^{4} (x) \tan (x) + 24 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + 16 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Etapa 4.6.3.6

Some $16 \csc^{4} (x) \cot (x)$ e $16 \csc^{4} (x) \cot (x)$ .

$f^{4} (x) = 48 \sec^{4} (x) \tan (x) + 24 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + 16 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 32 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $48 \sec^{4} (x) \tan (x) + 24 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + 16 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 32 \csc^{4} (x) \cot (x)$ .

$48 \sec^{4} (x) \tan (x) + 24 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + 16 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 32 \csc^{4} (x) \cot (x)$