Cálculo Exemplos

$f (x) = {(1 - x)}^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(1 - x)}^{2}$ como $(1 - x) (1 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x)]$

Etapa 1.2

Expanda $(1 - x) (1 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [1 (1 - x) - x (1 - x)]$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)]$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)]$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)]$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $- x$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x \cdot 1 - x (- x)]$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - x (- x)]$

Etapa 1.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x]$

Etapa 1.3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1.5.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)]$

Etapa 1.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}]$

Etapa 1.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x + 1 x^{2}]$

Etapa 1.3.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x + x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

Etapa 1.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 x + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.6

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.7

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.9

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 + 2 x$

Etapa 1.11

Reordene os termos.

$f' (x) = 2 x - 2$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $2$ e $0$ .

$f'' (x) = 2$

Etapa 3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f''' (x) = 0$

Etapa 4

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$f^{4} (x) = 0$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $0$ .

$0$