Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{(- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1)}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = - 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1] - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.2

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (- 9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x (- 9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.4

Multiplique $3$ por $- 9$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.8

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.10

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5 + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.11

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5 + 0) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.12

Some $- 27 x^{2} + 8 x - 5$ e $0$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.2.14

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1)}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (- 27 x^{2}) + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1)}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (- 27 x^{2}) + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 27 x \cdot x^{2} + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{- 27 (x^{2} x) + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 1.3.3.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 27 (x^{2} x^{1}) + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 27 x^{2 + 1} + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{- 27 x^{3} + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x \cdot x + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.3.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 (x \cdot x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.5

Mova $- 5$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 \cdot x - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.6

Multiplique $- 9$ por $- 1$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 9 x^{3} - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.7

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 9 x^{3} - 4 x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.8

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 9 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 9 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.2

Combine os termos opostos em $- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 9 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 1$ .

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Etapa 1.3.3.2.1

Some $- 5 x$ e $5 x$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} + 9 x^{3} - 4 x^{2} + 0 - 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.2.2

Some $- 27 x^{3} + 8 x^{2} + 9 x^{3} - 4 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} + 9 x^{3} - 4 x^{2} - 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.3

Some $- 27 x^{3}$ e $9 x^{3}$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 8 x^{2} - 4 x^{2} - 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.4

Subtraia $4 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 4 x^{2} - 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.4

Fatore $- 1$ de $- 18 x^{3}$ .

$\frac{- (18 x^{3}) + 4 x^{2} - 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.5

Fatore $- 1$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{- (18 x^{3}) - (- 4 x^{2}) - 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.6

Fatore $- 1$ de $- (18 x^{3}) - (- 4 x^{2})$ .

$\frac{- (18 x^{3} - 4 x^{2}) - 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.7

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (18 x^{3} - 4 x^{2}) - 1 (1)}{x^{2}}$

Etapa 1.3.8

Fatore $- 1$ de $- (18 x^{3} - 4 x^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Etapa 1.3.9

Reescreva $- (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)$ como $- 1 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)$ .

$\frac{- 1 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Etapa 1.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}}] + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.2

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [18 x^{3} - 4 x^{2} + 1] - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [18 x^{3} - 4 x^{2} + 1] - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [18 x^{3} - 4 x^{2} + 1] - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $18 x^{3} - 4 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [18 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [18 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.3

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18 x^{3}$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{x^{2} (18 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- \frac{x^{2} (18 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.5

Multiplique $3$ por $18$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.6

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.8

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 8 x + 0) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.10

Some $54 x^{2} - 8 x$ e $0$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 8 x) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 8 x) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) (2 x)}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.12

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.3.12.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) x}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.12.2

Fatore $x$ de $x^{2} (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) x$ .

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Etapa 2.3.12.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} (54 x^{2} - 8 x)$ .

$- \frac{x (x (54 x^{2} - 8 x)) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) x}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.12.2.2

Fatore $x$ de $- 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) x$ .

$- \frac{x (x (54 x^{2} - 8 x)) + x (- 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1))}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.12.2.3

Fatore $x$ de $x (x (54 x^{2} - 8 x)) + x (- 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1))$ .

$- \frac{x (x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1))}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.4.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$- \frac{x (x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1))}{x \cdot x^{3}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.4.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{x (x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1))}{x \cdot x^{3}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.4.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $\frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}}$ por $0$ .

$- \frac{x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}} + 0$

Etapa 2.6.2

Some $- \frac{x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}}$ e $0$ .

$- \frac{x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}}$

Etapa 2.7

Simplifique.

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Etapa 2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{x (54 x^{2}) + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}}$

Etapa 2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{x (54 x^{2}) + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Etapa 2.7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{54 x \cdot x^{2} + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Etapa 2.7.3.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$- \frac{54 (x^{2} x) + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Etapa 2.7.3.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.3.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{54 (x^{2} x^{1}) + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Etapa 2.7.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{54 x^{2 + 1} + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Etapa 2.7.3.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$- \frac{54 x^{3} + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Etapa 2.7.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{54 x^{3} - 8 x \cdot x - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Etapa 2.7.3.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.3.1.4.1

Mova $x$ .

$- \frac{54 x^{3} - 8 (x \cdot x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Etapa 2.7.3.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- \frac{54 x^{3} - 8 x^{2} - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Etapa 2.7.3.1.5

Multiplique $18$ por $- 2$ .

$- \frac{54 x^{3} - 8 x^{2} - 36 x^{3} - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Etapa 2.7.3.1.6

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$- \frac{54 x^{3} - 8 x^{2} - 36 x^{3} + 8 x^{2} - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Etapa 2.7.3.1.7

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- \frac{54 x^{3} - 8 x^{2} - 36 x^{3} + 8 x^{2} - 2}{x^{3}}$

Etapa 2.7.3.2

Combine os termos opostos em $54 x^{3} - 8 x^{2} - 36 x^{3} + 8 x^{2} - 2$ .

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Etapa 2.7.3.2.1

Some $- 8 x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$- \frac{54 x^{3} - 36 x^{3} + 0 - 2}{x^{3}}$

Etapa 2.7.3.2.2

Some $54 x^{3} - 36 x^{3}$ e $0$ .

$- \frac{54 x^{3} - 36 x^{3} - 2}{x^{3}}$

Etapa 2.7.3.3

Subtraia $36 x^{3}$ de $54 x^{3}$ .

$- \frac{18 x^{3} - 2}{x^{3}}$

Etapa 2.7.4

Fatore $2$ de $18 x^{3} - 2$ .

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Etapa 2.7.4.1

Fatore $2$ de $18 x^{3}$ .

$- \frac{2 (9 x^{3}) - 2}{x^{3}}$

Etapa 2.7.4.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$- \frac{2 (9 x^{3}) + 2 (- 1)}{x^{3}}$

Etapa 2.7.4.3

Fatore $2$ de $2 (9 x^{3}) + 2 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{3} - 1)}{x^{3}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2 (9 x^{3} - 1)}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{9 x^{3} - 1}{x^{3}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{9 x^{3} - 1}{x^{3}}]$

Etapa 3.2

$- 2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{3} - 1] - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{3} - 1] - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- 2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{3} - 1] - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{3} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 2 \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.3.3

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{3}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 \frac{x^{3} (9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 2 \frac{x^{3} (9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.3.5

Multiplique $3$ por $9$ .

$- 2 \frac{x^{3} (27 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 \frac{x^{3} (27 x^{2} + 0) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.3.7

Some $27 x^{2}$ e $0$ .

$- 2 \frac{x^{3} (27 x^{2}) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.4

Multiplique $x^{3}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1

Mova $x^{2}$ .

$- 2 \frac{x^{2} x^{3} \cdot 27 - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 \frac{x^{2 + 3} \cdot 27 - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.4.3

Some $2$ e $3$ .

$- 2 \frac{x^{5} \cdot 27 - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.5

Mova $27$ para a esquerda de $x^{5}$ .

$- 2 \frac{27 \cdot x^{5} - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 2 \frac{27 x^{5} - (9 x^{3} - 1) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 3.7

Combine frações.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{27 x^{5} - 3 (9 x^{3} - 1) x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 3.7.2

Combine $- 2$ e $\frac{27 x^{5} - 3 (9 x^{3} - 1) x^{2}}{x^{6}}$ .

$\frac{- 2 (27 x^{5} - 3 (9 x^{3} - 1) x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 3.7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 (27 x^{5} - 3 (9 x^{3} - 1) x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 3.8

Simplifique.

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Etapa 3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (27 x^{5} + (- 3 (9 x^{3}) - 3 \cdot - 1) x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 3.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (27 x^{5} - 3 (9 x^{3}) x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 3.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (27 x^{5}) + 2 (- 3 (9 x^{3}) x^{2}) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.8.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.8.4.1.1

Multiplique $27$ por $2$ .

$- \frac{54 x^{5} + 2 (- 3 (9 x^{3}) x^{2}) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.2

Multiplique $x^{3}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.8.4.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$- \frac{54 x^{5} + 2 (- 3 (9 (x^{2} x^{3}))) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{54 x^{5} + 2 (- 3 (9 x^{2 + 3})) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.2.3

Some $2$ e $3$ .

$- \frac{54 x^{5} + 2 (- 3 (9 x^{5})) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.3

Multiplique $9$ por $- 3$ .

$- \frac{54 x^{5} + 2 (- 27 x^{5}) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.4

Multiplique $- 27$ por $2$ .

$- \frac{54 x^{5} - 54 x^{5} + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.5

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$- \frac{54 x^{5} - 54 x^{5} + 2 (3 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.1.6

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{54 x^{5} - 54 x^{5} + 6 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.2

Subtraia $54 x^{5}$ de $54 x^{5}$ .

$- \frac{0 + 6 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 3.8.4.3

Some $0$ e $6 x^{2}$ .

$- \frac{6 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 3.8.5

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{6}$ .

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Etapa 3.8.5.1

Fatore $x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{6}}$

Etapa 3.8.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.8.5.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 3.8.5.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 3.8.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f''' (x) = - \frac{6}{x^{4}}$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{6}{x^{4}}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 4.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Etapa 4.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 4$ .

$- 6 (- 4 x^{- 5})$

Etapa 4.4

Multiplique $- 4$ por $- 6$ .

$24 x^{- 5}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 4.5.2

Combine $24$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{24}{x^{5}}$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{24}{x^{5}}$ .

$\frac{24}{x^{5}}$