Cálculo Exemplos

$\sqrt{\frac{x^{2} - 2 x - 63}{x^{2} + x - 12}}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{\frac{x^{2} - 2 x - 63}{x^{2} + x - 12}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{x^{2} - 2 x - 63}{x^{2} + x - 12} \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} - 2 x - 63 = 0$

$x^{2} + x - 12 = 0$

Etapa 2.2

Fatore $x^{2} - 2 x - 63$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 63$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 9, 7$

Etapa 2.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 9) (x + 7) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

$x + 7 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 9$ como igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x = 9$

Etapa 2.5

Defina $x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x + 7$ como igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 9) (x + 7) = 0$ verdadeiro.

$x = 9, - 7$

Etapa 2.7

Fatore $x^{2} + x - 12$ usando o método AC.

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Etapa 2.7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $1$ .

$- 3, 4$

Etapa 2.7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Etapa 2.8

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 2.9

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.9.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.10

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.10.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 2.10.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 2.11

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 4$

Etapa 2.12

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 9, - 7$

$x = 3, - 4$

Etapa 2.13

Consolide as soluções.

$x = 9, - 7, 3, - 4$

Etapa 2.14

Encontre o domínio de $\frac{x^{2} - 2 x - 63}{x^{2} + x - 12}$ .

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Etapa 2.14.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} - 2 x - 63}{x^{2} + x - 12}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} + x - 12 = 0$

Etapa 2.14.2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.14.2.1

Fatore $x^{2} + x - 12$ usando o método AC.

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Etapa 2.14.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $1$ .

$- 3, 4$

Etapa 2.14.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Etapa 2.14.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 2.14.2.3

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.14.2.3.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.14.2.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.14.2.4

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.14.2.4.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 2.14.2.4.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 2.14.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 4$

Etapa 2.14.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 2.15

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 4$

$- 4 < x < 3$

$3 < x < 9$

$x > 9$

Etapa 2.16

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.16.1

Teste um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.16.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 2.16.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 10)}^{2} - 2 \cdot - 10 - 63}{{(- 10)}^{2} - 10 - 12} \geq 0$

Etapa 2.16.1.3

O lado esquerdo $0.7\overline{307692}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.16.2

Teste um valor no intervalo $- 7 < x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.16.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 7 < x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 2.16.2.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 2 \cdot - 6 - 63}{{(- 6)}^{2} - 6 - 12} \geq 0$

Etapa 2.16.2.3

O lado esquerdo $- 0.8\overline{3}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.16.3

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.16.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.16.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 63}{{(0)}^{2} + 0 - 12} \geq 0$

Etapa 2.16.3.3

O lado esquerdo $5.25$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.16.4

Teste um valor no intervalo $3 < x < 9$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.16.4.1

Escolha um valor no intervalo $3 < x < 9$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 2.16.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{{(6)}^{2} - 2 \cdot 6 - 63}{{(6)}^{2} + 6 - 12} \geq 0$

Etapa 2.16.4.3

O lado esquerdo $- 1.3$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.16.5

Teste um valor no intervalo $x > 9$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.16.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 9$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 12$

Etapa 2.16.5.2

Substitua $x$ por $12$ na desigualdade original.

$\frac{{(12)}^{2} - 2 \cdot 12 - 63}{{(12)}^{2} + 12 - 12} \geq 0$

Etapa 2.16.5.3

O lado esquerdo $0.3958\overline{3}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.16.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 7$ Verdadeiro

$- 7 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 3$ Verdadeiro

$3 < x < 9$ Falso

$x > 9$ Verdadeiro

$x < - 7$ Verdadeiro

$- 7 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 3$ Verdadeiro

$3 < x < 9$ Falso

$x > 9$ Verdadeiro

Etapa 2.17

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 7$ ou $- 4 < x < 3$ ou $x \geq 9$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{x^{2} - 2 x - 63}{x^{2} + x - 12}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} + x - 12 = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Fatore $x^{2} + x - 12$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $1$ .

$- 3, 4$

Etapa 4.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Etapa 4.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 4.3

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.3.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 4.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 4.4

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.4.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 4.4.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 4.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 4$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 7] \cup (- 4, 3) \cup [9, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq - 7, - 4 < x < 3, x \geq 9}$

Etapa 6