Cálculo Exemplos

$f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{50}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$- (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}])$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}])$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$- (e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}])$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- \frac{1}{50}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{2}}{50}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.3.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.3.2.2

Multiplique $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ por $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.3.2.3

Combine $\frac{1}{50}$ e $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} (2 x)$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1

Combine $2$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ .

$\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} x$

Etapa 1.1.3.4.2

Combine $\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ e $x$ .

$\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{50}$

Etapa 1.1.3.4.3

Cancele o fator comum de $2$ e $50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.3.1

Fatore $2$ de $2 e^{- \frac{x^{2}}{50}} x$ .

$\frac{2 (e^{- \frac{x^{2}}{50}} x)}{50}$

Etapa 1.1.3.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.3.2.1

Fatore $2$ de $50$ .

$\frac{2 (e^{- \frac{x^{2}}{50}} x)}{2 \cdot 25}$

Etapa 1.1.3.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (e^{- \frac{x^{2}}{50}} x)}{2 \cdot 25}$

Etapa 1.1.3.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Reordene os fatores em $e^{- \frac{x^{2}}{50}} x$ .

$\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 1.1.4.2

Reordene os termos.

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Etapa 1.1.4.3

Reordene os fatores em $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$ .

$f' (x) = \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $\frac{1}{25}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{25} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$ .

$\frac{1}{25} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$\frac{1}{25} (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}] + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{50}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{25} (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (x (e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Como $- \frac{1}{50}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{2}}{50}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{25} (x (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Combine $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ e $\frac{1}{50}$ .

$\frac{1}{25} (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.4.2.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.4.4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{25} (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} x + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.4.4.2

Combine $- 2$ e $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} x + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.4.4.3

Combine $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50}$ e $x$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}}) x}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.8

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.8.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.2.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.8.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.2.2.1

Fatore $2$ de $50$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{2 (25)} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{25} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{2 \cdot 25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{25} (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.8.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \cdot 1)$

Etapa 1.2.10

Multiplique $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ por $1$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Etapa 1.2.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}) + \frac{1}{25} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Etapa 1.2.11.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.11.2.1

Multiplique $\frac{1}{25}$ por $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25 \cdot 25} + \frac{1}{25} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Etapa 1.2.11.2.2

Multiplique $25$ por $25$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{1}{25} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Etapa 1.2.11.2.3

Combine $\frac{1}{25}$ e $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} = 0$

Etapa 2.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = - 5, 5$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $- 5$ em $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f (- 5) = - e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f (- 5) = - e^{- \frac{25}{50}}$

Etapa 3.1.2.2

Cancele o fator comum de $25$ e $50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Fatore $25$ de $25$ .

$f (- 5) = - e^{- \frac{25 (1)}{50}}$

Etapa 3.1.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.2.1

Fatore $25$ de $50$ .

$f (- 5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Etapa 3.1.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Etapa 3.1.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 5) = - e^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 3.1.2.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 5) = - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4

A resposta final é $- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $- 5$ em $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ é $(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 3.3

Substitua $5$ em $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = - e^{- \frac{{(5)}^{2}}{50}}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (5) = - e^{- \frac{25}{50}}$

Etapa 3.3.2.2

Cancele o fator comum de $25$ e $50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Fatore $25$ de $25$ .

$f (5) = - e^{- \frac{25 (1)}{50}}$

Etapa 3.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.2.1

Fatore $25$ de $50$ .

$f (5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Etapa 3.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Etapa 3.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (5) = - e^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 3.3.2.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (5) = - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.2.4

A resposta final é $- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $5$ em $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ é $(5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 5)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 5.1$ na expressão.

$f'' (- 5.1) = - \frac{{(- 5.1)}^{2} e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Mova $e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{{(- 5.1)}^{2}}{625 e^{\frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $- 5.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{{(- 5.1)}^{2}}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 5.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 5.2.1.4

Divida $26.01$ por $50$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 5.2.1.5

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot {2.71828182}^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 5.2.1.6

Eleve $2.71828182$ à potência de $0.5202$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot 1.68236408} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 5.2.1.7

Multiplique $625$ por $1.68236408$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{1051.47755554} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 5.2.1.8

Divida $26.01$ por $1051.47755554$ .

$f'' (- 5.1) = - 1 \cdot 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 5.2.1.9

Multiplique $- 1$ por $0.02473661$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 5.2.1.10

Mova $e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}$

Etapa 5.2.1.11

Eleve $- 5.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{26.01}{50}}}$

Etapa 5.2.1.12

Divida $26.01$ por $50$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{0.5202}}$

Etapa 5.2.2

Some $- 0.02473661$ e $\frac{1}{25 e^{0.5202}}$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.00096055$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 0.00096055$ .

$- 0.00096055$

Etapa 5.3

Em $- 5.1$ , a segunda derivada é $- 0.00096055$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - 5)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 5)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 5, 5)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - \frac{{(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0^{2} e^{- \frac{0}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 6.2.1.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0 e^{- \frac{0}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 6.2.1.2.2

Divida $0$ por $50$ .

$f'' (0) = - \frac{0 e^{- 0}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 6.2.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0 e^{0}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 6.2.1.2.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f'' (0) = - \frac{0 \cdot 1}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $0$ por $1$ .

$f'' (0) = - \frac{0}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 6.2.1.4

Divida $0$ por $625$ .

$f'' (0) = - 0 + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 6.2.1.6

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{- \frac{0}{50}}}{25}$

Etapa 6.2.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.7.1

Divida $0$ por $50$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{- 0}}{25}$

Etapa 6.2.1.7.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{0}}{25}$

Etapa 6.2.1.7.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{1}{25}$

Etapa 6.2.2

Some $0$ e $\frac{1}{25}$ .

$f'' (0) = \frac{1}{25}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $\frac{1}{25}$ .

$\frac{1}{25}$

Etapa 6.3

Em $0$ , a segunda derivada é $0.04$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 5, 5)$ .

Acréscimo em $(- 5, 5)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(5, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $5.1$ na expressão.

$f'' (5.1) = - \frac{{(5.1)}^{2} e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Mova $e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (5.1) = - \frac{{(5.1)}^{2}}{625 e^{\frac{{5.1}^{2}}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $5.1$ à potência de $2$ .

$f'' (5.1) = - \frac{{5.1}^{2}}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $5.1$ à potência de $2$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 7.2.1.4

Divida $26.01$ por $50$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 7.2.1.5

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot {2.71828182}^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 7.2.1.6

Eleve $2.71828182$ à potência de $0.5202$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot 1.68236408} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 7.2.1.7

Multiplique $625$ por $1.68236408$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{1051.47755554} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 7.2.1.8

Divida $26.01$ por $1051.47755554$ .

$f'' (5.1) = - 1 \cdot 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 7.2.1.9

Multiplique $- 1$ por $0.02473661$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Etapa 7.2.1.10

Mova $e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{{5.1}^{2}}{50}}}$

Etapa 7.2.1.11

Eleve $5.1$ à potência de $2$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{26.01}{50}}}$

Etapa 7.2.1.12

Divida $26.01$ por $50$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{0.5202}}$

Etapa 7.2.2

Some $- 0.02473661$ e $\frac{1}{25 e^{0.5202}}$ .

$f'' (5.1) = - 0.00096055$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 0.00096055$ .

$- 0.00096055$

Etapa 7.3

Em $5.1$ , a segunda derivada é $- 0.00096055$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(5, \infty)$ .

Decréscimo em $(5, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

$(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 9