Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.1.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.1.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.1.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.1.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Etapa 1.1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Etapa 1.1.3.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Etapa 1.1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.3.8

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{2} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.1.3.9

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $- \frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$2 x - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$2 x - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Etapa 1.2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 1.2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Etapa 1.2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Etapa 1.2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Etapa 1.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 1.2.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 1.2.2.5.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 1.2.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 1.2.2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Etapa 1.2.2.7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Etapa 1.2.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Etapa 1.2.2.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Etapa 1.2.2.9.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Etapa 1.2.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Etapa 1.2.2.11

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 1.2.2.12

Combine $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 1.2.2.13

Multiplique $x^{- \frac{2}{3}}$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.2.13.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 1.2.2.13.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Etapa 1.2.2.13.3

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Etapa 1.2.2.13.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Etapa 1.2.2.14

Mova $x^{- \frac{4}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Etapa 1.2.2.15

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 x + 1 (\frac{2}{3}) \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 1.2.2.16

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$2 x + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 1.2.2.17

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$2 x + \frac{2}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 1.2.2.18

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

Etapa 2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$

Etapa 2.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$9 x^{\frac{4}{3}}$

Etapa 2.3

Multiplique cada termo em $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ por $9 x^{\frac{4}{3}}$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.3.1

Multiplique cada termo em $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ por $9 x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 x (9 x^{\frac{4}{3}}) + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot 9 x \cdot x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.2.1

Mova $x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 \cdot 9 (x^{\frac{4}{3}} x) + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Multiplique $x^{\frac{4}{3}}$ por $x$ .

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Etapa 2.3.2.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \cdot 9 (x^{\frac{4}{3}} x^{1}) + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \cdot 9 x^{\frac{4}{3} + 1} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$2 \cdot 9 x^{\frac{4}{3} + \frac{3}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \cdot 9 x^{\frac{4 + 3}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.2.5

Some $4$ e $3$ .

$2 \cdot 9 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.3

Multiplique $2$ por $9$ .

$18 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$18 x^{\frac{7}{3}} + 9 \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.5

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.5.1

Cancele o fator comum.

$18 x^{\frac{7}{3}} + 9 \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.5.2

Reescreva a expressão.

$18 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.6

Cancele o fator comum de $x^{\frac{4}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.6.1

Cancele o fator comum.

$18 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.6.2

Reescreva a expressão.

$18 x^{\frac{7}{3}} + 2 = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Multiplique $0 (9 x^{\frac{4}{3}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Multiplique $9$ por $0$ .

$18 x^{\frac{7}{3}} + 2 = 0 x^{\frac{4}{3}}$

Etapa 2.3.3.1.2

Multiplique $0$ por $x^{\frac{4}{3}}$ .

$18 x^{\frac{7}{3}} + 2 = 0$

Etapa 2.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$18 x^{\frac{7}{3}} = - 2$

Etapa 2.4.2

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{3}{7}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(18 x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Simplifique ${(18 x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.1

Aplique a regra do produto a $18 x^{\frac{7}{3}}$ .

$18^{\frac{3}{7}} {(x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Etapa 2.4.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Etapa 2.4.3.1.2.2

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Etapa 2.4.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Etapa 2.4.3.1.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Etapa 2.4.3.1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$18^{\frac{3}{7}} x^{1} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Etapa 2.4.3.1.3

Simplifique.

$18^{\frac{3}{7}} x = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Etapa 2.4.3.1.4

Reordene os fatores em $18^{\frac{3}{7}} x$ .

$x \cdot 18^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Etapa 2.4.4

Divida cada termo em $x \cdot 18^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$ por $18^{\frac{3}{7}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Divida cada termo em $x \cdot 18^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$ por $18^{\frac{3}{7}}$ .

$\frac{x \cdot 18^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}} = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$

Etapa 2.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot 18^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}} = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$

Etapa 2.4.4.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ em $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ na expressão.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{3} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.1.2.1.2

Combine.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{1 {({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 {(18^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique ${({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}$ por $1$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 {(18^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique os expoentes em ${(18^{\frac{3}{7}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 18^{\frac{3}{7} \cdot 3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.1.2.1.4.2

Multiplique $\frac{3}{7} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.4.2.1

Combine $\frac{3}{7}$ e $3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 18^{\frac{3 \cdot 3}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.1.2.1.4.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.1.2.1.5

Multiplique os expoentes em ${({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}$ .

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Etapa 3.1.2.1.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7} \cdot 3}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.1.2.1.5.2

Multiplique $\frac{3}{7} \cdot 3$ .

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Etapa 3.1.2.1.5.2.1

Combine $\frac{3}{7}$ e $3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{3 \cdot 3}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.1.2.1.5.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.1.2.1.6

Aplique a regra do produto a $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.1.2.1.7

Multiplique os expoentes em ${({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 3.1.2.1.7.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.1.2.1.7.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.1.2.1.7.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.1.2.1.7.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 2}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.1.2.1.7.3

Combine $\frac{1}{7}$ e $2$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.1.2.1.8

Multiplique os expoentes em ${(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 3.1.2.1.8.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}$

Etapa 3.1.2.1.8.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.1.2.1.8.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}$

Etapa 3.1.2.1.8.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{1}{7} \cdot 2}}$

Etapa 3.1.2.1.8.3

Combine $\frac{1}{7}$ e $2$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}}$

Etapa 3.1.2.2

Para escrever $- \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}} \cdot \frac{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}$

Etapa 3.1.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1.2.3.1

Multiplique $\frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}}$ por $\frac{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{18^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}$

Etapa 3.1.2.3.2

Multiplique $18^{\frac{2}{7}}$ por $18^{\frac{7}{7}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.2.3.2.1

Mova $18^{\frac{7}{7}}$ .

Etapa 3.1.2.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

Etapa 3.1.2.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{18^{\frac{7 + 2}{7}} \cdot 3}$

Etapa 3.1.2.3.2.4

Some $7$ e $2$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{18^{\frac{9}{7}} \cdot 3}$

Etapa 3.1.2.3.3

Reordene os fatores de $18^{\frac{9}{7}} \cdot 3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Etapa 3.1.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 3.1.2.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - {(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Etapa 3.1.2.4.2

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 3.1.2.4.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - {(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Etapa 3.1.2.4.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - {(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18)}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Etapa 3.1.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.2.5.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 3 {(- 2)}^{\frac{2}{7}} \cdot 18}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Etapa 3.1.2.5.2

Avalie o expoente.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 3 {(- 2)}^{\frac{2}{7}} \cdot 18}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Etapa 3.1.2.5.3

Multiplique $18$ por $- 3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Etapa 3.1.2.6

A resposta final é $\frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$ .

$\frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ em $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$ é $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) \cup (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.48997693$ na expressão.

$f'' (- 0.48997693) = 2 (- 0.48997693) + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $- 0.48997693$ .

$f'' (- 0.48997693) = - 0.97995387 + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $- 0.97995387 + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- 0.97995387 + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 5.3

Em $- 0.48997693$ , a segunda derivada é $- 0.40466412$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})$ .

Decréscimo em $(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.28997693$ na expressão.

$f'' (- 0.28997693) = 2 (- 0.28997693) + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $- 0.28997693$ .

$f'' (- 0.28997693) = - 0.57995387 + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 6.2.2

A resposta final é $- 0.57995387 + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- 0.57995387 + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 6.3

Em $- 0.28997693$ , a segunda derivada é $0.57785322$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$ .

$(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$

Etapa 8