Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{3}{32} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{32} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{3}{32} x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $\frac{3}{32}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{32} x^{2}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{3}{32} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Etapa 1.1.2.3

Combine $2$ e $\frac{3}{32}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{32} x + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Etapa 1.1.2.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6}{32} x + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Etapa 1.1.2.5

Combine $\frac{6}{32}$ e $x$ .

$\frac{6 x}{32} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Etapa 1.1.2.6

Cancele o fator comum de $6$ e $32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$\frac{2 (3 x)}{32} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Etapa 1.1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.2.1

Fatore $2$ de $32$ .

$\frac{2 (3 x)}{2 (16)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Etapa 1.1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 x)}{2 \cdot 16} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Etapa 1.1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x}{16} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{- 2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$\frac{3 x}{16} - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$\frac{3 x}{16} - 4 (- 2 x^{- 3})$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$\frac{3 x}{16} + 8 x^{- 3}$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 x}{16} + 8 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 1.1.4.2

Combine $8$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x}{16} + \frac{8}{x^{3}}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{3 x}{16} + \frac{8}{x^{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{16}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $\frac{3}{16}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x}{16}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{16} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{16} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3}{16} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $\frac{3}{16}$ por $1$ .

$\frac{3}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{3}{16} + 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Etapa 1.2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{3}{16} + 8 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Etapa 1.2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$\frac{3}{16} + 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Etapa 1.2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Etapa 1.2.3.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Etapa 1.2.3.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Etapa 1.2.3.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.7.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Etapa 1.2.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3}{16} + 8 (- 3 x^{2 - 6})$

Etapa 1.2.3.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- 3 x^{- 4})$

Etapa 1.2.3.8

Multiplique $- 3$ por $8$ .

$\frac{3}{16} - 24 x^{- 4}$

Etapa 1.2.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{16} - 24 \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 1.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1.1

Combine $- 24$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{3}{16} + \frac{- 24}{x^{4}}$

Etapa 1.2.5.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3}{16} - \frac{24}{x^{4}}$

Etapa 1.2.5.2

Reordene os termos.

$f'' (x) = - \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16}$ .

$- \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16} = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $\frac{3}{16}$ dos dois lados da equação.

$- \frac{24}{x^{4}} = - \frac{3}{16}$

Etapa 2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{4}, 16$

Etapa 2.3.2

Como $x^{4}, 16$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $x^{4}, 16$ 1) e, depois, o da parte variável $x^{4}, 16$ .

Etapa 2.3.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.3.5

Os fatores primos de $16$ são $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

$16$ tem fatores de $2$ e $8$ .

$2 \cdot 8$

Etapa 2.3.5.2

$8$ tem fatores de $2$ e $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 4$

Etapa 2.3.5.3

$4$ tem fatores de $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Etapa 2.3.6

Multiplique $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2$

Etapa 2.3.6.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 \cdot 2$

Etapa 2.3.6.3

Multiplique $8$ por $2$ .

$16$

Etapa 2.3.7

Os fatores para $x^{4}$ são $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $4$ vezes.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ ocorre $4$ vezes.

Etapa 2.3.8

O MMC de $x^{4}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Etapa 2.3.9

Simplifique $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.9.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Etapa 2.3.9.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.9.2.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.9.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Etapa 2.3.9.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Etapa 2.3.9.2.2

Some $2$ e $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Etapa 2.3.9.3

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.9.3.1

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.9.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Etapa 2.3.9.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3 + 1}$

Etapa 2.3.9.3.2

Some $3$ e $1$ .

$x^{4}$

Etapa 2.3.10

O MMC de $x^{4}, 16$ é a parte numérica $16$ multiplicada pela parte variável.

$16 x^{4}$

Etapa 2.4

Multiplique cada termo em $- \frac{24}{x^{4}} = - \frac{3}{16}$ por $16 x^{4}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{24}{x^{4}} = - \frac{3}{16}$ por $16 x^{4}$ .

$- \frac{24}{x^{4}} (16 x^{4}) = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{24}{x^{4}}$ para o numerador.

$\frac{- 24}{x^{4}} (16 x^{4}) = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Etapa 2.4.2.1.2

Fatore $x^{4}$ de $16 x^{4}$ .

$\frac{- 24}{x^{4}} (x^{4} \cdot 16) = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Etapa 2.4.2.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 24}{x^{4}} (x^{4} \cdot 16) = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Etapa 2.4.2.1.4

Reescreva a expressão.

$- 24 \cdot 16 = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $- 24$ por $16$ .

$- 384 = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Etapa 2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Cancele o fator comum de $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{16}$ para o numerador.

$- 384 = \frac{- 3}{16} (16 x^{4})$

Etapa 2.4.3.1.2

Fatore $16$ de $16 x^{4}$ .

$- 384 = \frac{- 3}{16} (16 (x^{4}))$

Etapa 2.4.3.1.3

Cancele o fator comum.

$- 384 = \frac{- 3}{16} (16 x^{4})$

Etapa 2.4.3.1.4

Reescreva a expressão.

$- 384 = - 3 x^{4}$

Etapa 2.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $- 3 x^{4} = - 384$ .

$- 3 x^{4} = - 384$

Etapa 2.5.2

Divida cada termo em $- 3 x^{4} = - 384$ por $- 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Divida cada termo em $- 3 x^{4} = - 384$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 384}{- 3}$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 384}{- 3}$

Etapa 2.5.2.2.1.2

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} = \frac{- 384}{- 3}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1

Divida $- 384$ por $- 3$ .

$x^{4} = 128$

Etapa 2.5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[4]{128}$

Etapa 2.5.4

Simplifique $\pm \sqrt[4]{128}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Reescreva $128$ como $2^{4} \cdot 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1

Fatore $16$ de $128$ .

$x = \pm \sqrt[4]{16 (8)}$

Etapa 2.5.4.1.2

Reescreva $16$ como $2^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{2^{4} \cdot 8}$

Etapa 2.5.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm 2 \sqrt[4]{8}$

Etapa 2.5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 \sqrt[4]{8}$

Etapa 2.5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 \sqrt[4]{8}$

Etapa 2.5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 \sqrt[4]{8}, - 2 \sqrt[4]{8}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $2 \sqrt[4]{8}$ em $f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $2 \sqrt[4]{8}$ na expressão.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot {(2 \sqrt[4]{8})}^{2} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt[4]{8}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot (2^{2} {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.3.1

Fatore $4$ de $32$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 (8)} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.3.2

Fatore $4$ de $4 {\sqrt[4]{8}}^{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 (8)} \cdot (4 ({\sqrt[4]{8}}^{2})) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.3.3

Cancele o fator comum.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 \cdot 8} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.3.4

Reescreva a expressão.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{8} \cdot {\sqrt[4]{8}}^{2} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.4

Combine $\frac{3}{8}$ e ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 {\sqrt[4]{8}}^{2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.5.1

Reescreva ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ como $\sqrt{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.5.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{8}$ como $8^{\frac{1}{4}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 {(8^{\frac{1}{4}})}^{2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.5.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.5.1.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2}{4}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.5.1.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.5.1.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 (1)}{4}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.5.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.5.1.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.5.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.5.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.5.1.5

Reescreva $8^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{8}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{8}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.5.2

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.5.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{4 (2)}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.5.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.5.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot (2 \sqrt{2})}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.5.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{6 \sqrt{2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.6

Cancele o fator comum de $6$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.6.1

Fatore $2$ de $6 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.6.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (4)} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 4} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.1.2.1.7

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{{(2 \sqrt[4]{8})}^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.8

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.8.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt[4]{8}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{2^{2} {\sqrt[4]{8}}^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.8.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 {\sqrt[4]{8}}^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.8.3

Reescreva ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ como $\sqrt{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.8.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{8}$ como $8^{\frac{1}{4}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 {(8^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.8.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{1}{4} \cdot 2}}$

Etapa 3.1.2.1.8.3.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2}{4}}}$

Etapa 3.1.2.1.8.3.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.8.3.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 (1)}{4}}}$

Etapa 3.1.2.1.8.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.8.3.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}$

Etapa 3.1.2.1.8.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}$

Etapa 3.1.2.1.8.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.1.2.1.8.3.5

Reescreva $8^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{8}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{8}}$

Etapa 3.1.2.1.8.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.8.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{4 (2)}}$

Etapa 3.1.2.1.8.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.1.2.1.8.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot (2 \sqrt{2})}$

Etapa 3.1.2.1.8.6

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{8 \sqrt{2}}$

Etapa 3.1.2.1.9

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.9.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 (- 1) (\frac{1}{8 \sqrt{2}})$

Etapa 3.1.2.1.9.2

Fatore $4$ de $8 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 (- 1) (\frac{1}{4 (2 \sqrt{2})})$

Etapa 3.1.2.1.9.3

Cancele o fator comum.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 \cdot (- 1 \frac{1}{4 (2 \sqrt{2})})$

Etapa 3.1.2.1.9.4

Reescreva a expressão.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 3.1.2.1.10

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 (\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Etapa 3.1.2.1.11

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.11.1

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 3.1.2.1.11.2

Mova $\sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 3.1.2.1.11.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 3.1.2.1.11.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 3.1.2.1.11.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.1.2.1.11.6

Some $1$ e $1$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.11.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.11.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.11.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.1.2.1.11.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.1.2.1.11.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.11.7.4.1

Cancele o fator comum.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.1.2.1.11.7.4.2

Reescreva a expressão.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.2.1.11.7.5

Avalie o expoente.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.2.1.12

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{4}$

Etapa 3.1.2.1.13

Reescreva $- 1 \frac{\sqrt{2}}{4}$ como $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3.1.2.2.2

Subtraia $\sqrt{2}$ de $3 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3.1.2.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.3.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (\sqrt{2})}{4}$

Etapa 3.1.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $2 \sqrt[4]{8}$ em $f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ é $(2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 3.3

Substitua $- 2 \sqrt[4]{8}$ em $f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 2 \sqrt[4]{8}$ na expressão.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{2} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- 2 \sqrt[4]{8}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot ({(- 2)}^{2} {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1

Fatore $4$ de $32$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 (8)} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.2

Fatore $4$ de $4 {\sqrt[4]{8}}^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 (8)} \cdot (4 ({\sqrt[4]{8}}^{2})) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.3

Cancele o fator comum.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 \cdot 8} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.4

Reescreva a expressão.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{8} \cdot {\sqrt[4]{8}}^{2} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.4

Combine $\frac{3}{8}$ e ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 {\sqrt[4]{8}}^{2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.5.1

Reescreva ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ como $\sqrt{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.5.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{8}$ como $8^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 {(8^{\frac{1}{4}})}^{2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.5.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.5.1.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2}{4}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.5.1.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.5.1.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 (1)}{4}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.5.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.5.1.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.5.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.5.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.5.1.5

Reescreva $8^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{8}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{8}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.5.2

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.5.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{4 (2)}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.5.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.5.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot (2 \sqrt{2})}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.5.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{6 \sqrt{2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.6

Cancele o fator comum de $6$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.6.1

Fatore $2$ de $6 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.6.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (4)} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 4} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.7

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{{(- 2 \sqrt[4]{8})}^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.8

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.8.1

Aplique a regra do produto a $- 2 \sqrt[4]{8}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{{(- 2)}^{2} {\sqrt[4]{8}}^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.8.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 {\sqrt[4]{8}}^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.8.3

Reescreva ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ como $\sqrt{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.8.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{8}$ como $8^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 {(8^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.8.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{1}{4} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.2.1.8.3.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2}{4}}}$

Etapa 3.3.2.1.8.3.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.8.3.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 (1)}{4}}}$

Etapa 3.3.2.1.8.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.8.3.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}$

Etapa 3.3.2.1.8.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}$

Etapa 3.3.2.1.8.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.2.1.8.3.5

Reescreva $8^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{8}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{8}}$

Etapa 3.3.2.1.8.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.8.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{4 (2)}}$

Etapa 3.3.2.1.8.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.2.1.8.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot (2 \sqrt{2})}$

Etapa 3.3.2.1.8.6

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{8 \sqrt{2}}$

Etapa 3.3.2.1.9

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.9.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 (- 1) (\frac{1}{8 \sqrt{2}})$

Etapa 3.3.2.1.9.2

Fatore $4$ de $8 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 (- 1) (\frac{1}{4 (2 \sqrt{2})})$

Etapa 3.3.2.1.9.3

Cancele o fator comum.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 \cdot (- 1 \frac{1}{4 (2 \sqrt{2})})$

Etapa 3.3.2.1.9.4

Reescreva a expressão.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 3.3.2.1.10

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 (\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Etapa 3.3.2.1.11

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.11.1

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 3.3.2.1.11.2

Mova $\sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 3.3.2.1.11.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 3.3.2.1.11.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 3.3.2.1.11.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.3.2.1.11.6

Some $1$ e $1$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.11.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.11.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.11.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.2.1.11.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.3.2.1.11.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1.11.7.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.3.2.1.11.7.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.11.7.5

Avalie o expoente.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.12

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.13

Reescreva $- 1 \frac{\sqrt{2}}{4}$ como $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.2.2

Subtraia $\sqrt{2}$ de $3 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 3.3.2.2.3.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (\sqrt{2})}{4}$

Etapa 3.3.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.2.2.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $- 2 \sqrt[4]{8}$ em $f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ é $(- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 2 \sqrt[4]{8}) \cup (- 2 \sqrt[4]{8}, 2 \sqrt[4]{8}) \cup (2 \sqrt[4]{8}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2 \sqrt[4]{8})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 3.46358566$ na expressão.

$f'' (- 3.46358566) = - \frac{24}{{(- 3.46358566)}^{4}} + \frac{3}{16}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 3.46358566$ à potência de $4$ .

$f'' (- 3.46358566) = - \frac{24}{143.91422792} + \frac{3}{16}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $24$ por $143.91422792$ .

$f'' (- 3.46358566) = - 1 \cdot 0.16676599 + \frac{3}{16}$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $0.16676599$ .

$f'' (- 3.46358566) = - 0.16676599 + \frac{3}{16}$

Etapa 5.2.2

Para escrever $- 0.16676599$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- 3.46358566) = - 0.16676599 \cdot \frac{16}{16} + \frac{3}{16}$

Etapa 5.2.3

Combine frações.

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Etapa 5.2.3.1

Combine $- 0.16676599$ e $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- 3.46358566) = \frac{- 0.16676599 \cdot 16}{16} + \frac{3}{16}$

Etapa 5.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (- 3.46358566) = \frac{- 0.16676599 \cdot 16 + 3}{16}$

Etapa 5.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.4.1

Multiplique $- 0.16676599$ por $16$ .

$f'' (- 3.46358566) = \frac{- 2.66825598 + 3}{16}$

Etapa 5.2.4.2

Some $- 2.66825598$ e $3$ .

$f'' (- 3.46358566) = \frac{0.33174401}{16}$

Etapa 5.2.5

Divida $0.33174401$ por $16$ .

$f'' (- 3.46358566) = 0.020734$

Etapa 5.2.6

A resposta final é $0.020734$ .

$0.020734$

Etapa 5.3

Em $- 3.46358566$ , a segunda derivada é $0.020734$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 2 \sqrt[4]{8})$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 2 \sqrt[4]{8})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 2 \sqrt[4]{8}, 2 \sqrt[4]{8})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - \frac{24}{{(0)}^{4}} + \frac{3}{16}$

Etapa 6.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - \frac{24}{0} + \frac{3}{16}$

Etapa 6.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

$f'' (0) = Undefined$

Etapa 6.4

Em $0$ , a segunda derivada é $N a N$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 2 \sqrt[4]{8}, 2 \sqrt[4]{8})$ .

Decréscimo em $(- 2 \sqrt[4]{8}, 2 \sqrt[4]{8})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(2 \sqrt[4]{8}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $3.46358566$ na expressão.

$f'' (3.46358566) = - \frac{24}{{(3.46358566)}^{4}} + \frac{3}{16}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $3.46358566$ à potência de $4$ .

$f'' (3.46358566) = - \frac{24}{143.91422792} + \frac{3}{16}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $24$ por $143.91422792$ .

$f'' (3.46358566) = - 1 \cdot 0.16676599 + \frac{3}{16}$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $0.16676599$ .

$f'' (3.46358566) = - 0.16676599 + \frac{3}{16}$

Etapa 7.2.2

Para escrever $- 0.16676599$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{16}{16}$ .

$f'' (3.46358566) = - 0.16676599 \cdot \frac{16}{16} + \frac{3}{16}$

Etapa 7.2.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Combine $- 0.16676599$ e $\frac{16}{16}$ .

$f'' (3.46358566) = \frac{- 0.16676599 \cdot 16}{16} + \frac{3}{16}$

Etapa 7.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (3.46358566) = \frac{- 0.16676599 \cdot 16 + 3}{16}$

Etapa 7.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.1

Multiplique $- 0.16676599$ por $16$ .

$f'' (3.46358566) = \frac{- 2.66825598 + 3}{16}$

Etapa 7.2.4.2

Some $- 2.66825598$ e $3$ .

$f'' (3.46358566) = \frac{0.33174401}{16}$

Etapa 7.2.5

Divida $0.33174401$ por $16$ .

$f'' (3.46358566) = 0.020734$

Etapa 7.2.6

A resposta final é $0.020734$ .

$0.020734$

Etapa 7.3

Em $3.46358566$ , a segunda derivada é $0.020734$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(2 \sqrt[4]{8}, \infty)$ .

Acréscimo em $(2 \sqrt[4]{8}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

$(- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 9