Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{x^{4} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{x^{4} + 1}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}] - x^{5} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Mova $5$ para a esquerda de $x^{4} + 1$ .

$2 \frac{5 \cdot (x^{4} + 1) x^{4} - x^{5} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - x^{5} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - x^{5} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.6.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - x^{5} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - 4 x^{5} x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.4

Multiplique $x^{5}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Mova $x^{3}$ .

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - 4 (x^{3} x^{5})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - 4 x^{3 + 5}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.3

Some $3$ e $5$ .

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - 4 x^{8}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.5

Combine $2$ e $\frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - 4 x^{8}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (5 (x^{4} + 1) x^{4} - 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

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Etapa 1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 ((5 x^{4} + 5 \cdot 1) x^{4} - 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (5 x^{4} x^{4} + 5 \cdot 1 x^{4} - 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (5 x^{4} x^{4}) + 2 (5 \cdot 1 x^{4}) + 2 (- 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.6.4.1.1

Multiplique $x^{4}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.4.1.1.1

Mova $x^{4}$ .

$\frac{2 (5 (x^{4} x^{4})) + 2 (5 \cdot 1 x^{4}) + 2 (- 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (5 x^{4 + 4}) + 2 (5 \cdot 1 x^{4}) + 2 (- 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4.1.1.3

Some $4$ e $4$ .

$\frac{2 (5 x^{8}) + 2 (5 \cdot 1 x^{4}) + 2 (- 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4.1.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{10 x^{8} + 2 (5 \cdot 1 x^{4}) + 2 (- 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4.1.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{10 x^{8} + 2 (5 x^{4}) + 2 (- 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4.1.4

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{10 x^{8} + 10 x^{4} + 2 (- 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4.1.5

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{10 x^{8} + 10 x^{4} - 8 x^{8}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4.2

Subtraia $8 x^{8}$ de $10 x^{8}$ .

$\frac{2 x^{8} + 10 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.5

Fatore $2 x^{4}$ de $2 x^{8} + 10 x^{4}$ .

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Etapa 1.1.6.5.1

Fatore $2 x^{4}$ de $2 x^{8}$ .

$\frac{2 x^{4} (x^{4}) + 10 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.5.2

Fatore $2 x^{4}$ de $10 x^{4}$ .

$\frac{2 x^{4} (x^{4}) + 2 x^{4} (5)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.5.3

Fatore $2 x^{4}$ de $2 x^{4} (x^{4}) + 2 x^{4} (5)$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{4} (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x^{4} (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}]$

Etapa 1.2.2

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} (x^{4} + 5)] - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} (x^{4} + 5)] - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} (x^{4} + 5)] - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{4} + 5$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5] + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5

Diferencie.

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Etapa 1.2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{4} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{4} (4 x^{3} + 0) + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{4} (4 x^{3}) + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.6

Multiplique $x^{4}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.6.1

Mova $x^{3}$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{3} x^{4} \cdot 4 + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{3 + 4} \cdot 4 + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.6.3

Some $3$ e $4$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{7} \cdot 4 + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.2.7.1

Mova $4$ para a esquerda de $x^{7}$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 \cdot x^{7} + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + (x^{4} + 5) (4 x^{3})) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.7.3

Mova $4$ para a esquerda de $x^{4} + 5$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + 4 \cdot (x^{4} + 5) x^{3}) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

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Etapa 1.2.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4} + 1$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - x^{4} (x^{4} + 5) (2 u \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} + 1$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - x^{4} (x^{4} + 5) (2 (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.9

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.2.9.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.9.2

Fatore $x^{4} + 1$ de ${(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$ .

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Etapa 1.2.9.2.1

Fatore $x^{4} + 1$ de ${(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3})$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3})) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.9.2.2

Fatore $x^{4} + 1$ de $- 2 x^{4} (x^{4} + 5) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3})) + (x^{4} + 1) (- 2 x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.9.2.3

Fatore $x^{4} + 1$ de $(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3})) + (x^{4} + 1) (- 2 x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.10

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.10.1

Fatore $x^{4} + 1$ de ${(x^{4} + 1)}^{4}$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.10.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.10.3

Reescreva a expressão.

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.13

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.14

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.14.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.14.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 8 x^{4} (x^{4} + 5) x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.15

Multiplique $x^{4}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.15.1

Mova $x^{3}$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 8 (x^{3} x^{4}) (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.15.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 8 x^{3 + 4} (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.15.3

Some $3$ e $4$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 8 x^{7} (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.16

Combine $2$ e $\frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 8 x^{7} (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 8 x^{7} (x^{4} + 5))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + (4 x^{4} + 4 \cdot 5) x^{3}) - 8 x^{7} (x^{4} + 5))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 x^{4} x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}) - 8 x^{7} (x^{4} + 5))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 x^{4} x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}) - 8 x^{7} x^{4} - 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 x^{4} x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.5.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.5.1.1.1

Multiplique $x^{4}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.5.1.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{3} x^{4}) + 4 \cdot 5 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 x^{3 + 4} + 4 \cdot 5 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.1.1.3

Some $3$ e $4$ .

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 x^{7} + 4 \cdot 5 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.1.2

Multiplique $4$ por $5$ .

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 x^{7} + 20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.2

Some $4 x^{7}$ e $4 x^{7}$ .

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (8 x^{7} + 20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.3

Expanda $(x^{4} + 1) (8 x^{7} + 20 x^{3})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.5.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x^{4} (8 x^{7} + 20 x^{3}) + 1 (8 x^{7} + 20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x^{4} (8 x^{7}) + x^{4} (20 x^{3}) + 1 (8 x^{7} + 20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x^{4} (8 x^{7}) + x^{4} (20 x^{3}) + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.5.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.5.1.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 (8 x^{4} x^{7} + x^{4} (20 x^{3}) + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.4.1.2

Multiplique $x^{4}$ por $x^{7}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.5.1.4.1.2.1

Mova $x^{7}$ .

$\frac{2 (8 (x^{7} x^{4}) + x^{4} (20 x^{3}) + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (8 x^{7 + 4} + x^{4} (20 x^{3}) + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.4.1.2.3

Some $7$ e $4$ .

$\frac{2 (8 x^{11} + x^{4} (20 x^{3}) + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.4.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 (8 x^{11} + 20 x^{4} x^{3} + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.4.1.4

Multiplique $x^{4}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.5.1.4.1.4.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{2 (8 x^{11} + 20 (x^{3} x^{4}) + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.4.1.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (8 x^{11} + 20 x^{3 + 4} + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.4.1.4.3

Some $3$ e $4$ .

$\frac{2 (8 x^{11} + 20 x^{7} + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.4.1.5

Multiplique $8 x^{7}$ por $1$ .

$\frac{2 (8 x^{11} + 20 x^{7} + 8 x^{7} + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.4.1.6

Multiplique $20 x^{3}$ por $1$ .

$\frac{2 (8 x^{11} + 20 x^{7} + 8 x^{7} + 20 x^{3}) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.4.2

Some $20 x^{7}$ e $8 x^{7}$ .

$\frac{2 (8 x^{11} + 28 x^{7} + 20 x^{3}) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (8 x^{11}) + 2 (28 x^{7}) + 2 (20 x^{3}) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.5.1.6.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{16 x^{11} + 2 (28 x^{7}) + 2 (20 x^{3}) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.6.2

Multiplique $28$ por $2$ .

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 2 (20 x^{3}) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.6.3

Multiplique $20$ por $2$ .

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.7

Multiplique $x^{7}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.5.1.7.1

Mova $x^{4}$ .

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} + 2 (- 8 (x^{4} x^{7})) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} + 2 (- 8 x^{4 + 7}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.7.3

Some $4$ e $7$ .

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} + 2 (- 8 x^{11}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.8

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} - 16 x^{11} + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.9

Multiplique $5$ por $- 8$ .

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} - 16 x^{11} + 2 (- 40 x^{7})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.1.10

Multiplique $- 40$ por $2$ .

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} - 16 x^{11} - 80 x^{7}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.2

Combine os termos opostos em $16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} - 16 x^{11} - 80 x^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.5.2.1

Subtraia $16 x^{11}$ de $16 x^{11}$ .

$\frac{56 x^{7} + 40 x^{3} + 0 - 80 x^{7}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.2.2

Some $56 x^{7} + 40 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{56 x^{7} + 40 x^{3} - 80 x^{7}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.3

Subtraia $80 x^{7}$ de $56 x^{7}$ .

$\frac{- 24 x^{7} + 40 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.6

Fatore $8 x^{3}$ de $- 24 x^{7} + 40 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.6.1

Fatore $8 x^{3}$ de $- 24 x^{7}$ .

$\frac{8 x^{3} (- 3 x^{4}) + 40 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.6.2

Fatore $8 x^{3}$ de $40 x^{3}$ .

$\frac{8 x^{3} (- 3 x^{4}) + 8 x^{3} (5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.6.3

Fatore $8 x^{3}$ de $8 x^{3} (- 3 x^{4}) + 8 x^{3} (5)$ .

$\frac{8 x^{3} (- 3 x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.7

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{4}$ .

$\frac{8 x^{3} (- (3 x^{4}) + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.8

Reescreva $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$\frac{8 x^{3} (- (3 x^{4}) - 1 (- 5))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.9

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{4}) - 1 (- 5)$ .

$\frac{8 x^{3} (- (3 x^{4} - 5))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.10

Reescreva $- (3 x^{4} - 5)$ como $- 1 (3 x^{4} - 5)$ .

$\frac{8 x^{3} (- 1 (3 x^{4} - 5))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(8 x^{3}) (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.12

Reordene os fatores em $- \frac{(8 x^{3}) (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{8 x^{3} (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{8 x^{3} (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{8 x^{3} (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{8 x^{3} (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$8 x^{3} (3 x^{4} - 5) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$3 x^{4} - 5 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 2.3.2.2

Resolva $x^{3} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 2.3.2.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 2.3.2.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 2.3.3

Defina $3 x^{4} - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Defina $3 x^{4} - 5$ como igual a $0$ .

$3 x^{4} - 5 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Resolva $3 x^{4} - 5 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$3 x^{4} = 5$

Etapa 2.3.3.2.2

Divida cada termo em $3 x^{4} = 5$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.1

Divida cada termo em $3 x^{4} = 5$ por $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{5}{3}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{5}{3}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.1.2

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} = \frac{5}{3}$

Etapa 2.3.3.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{5}{3}}$

Etapa 2.3.3.2.4

Simplifique $\pm \sqrt[4]{\frac{5}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.4.1

Reescreva $\sqrt[4]{\frac{5}{3}}$ como $\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{3}}$

Etapa 2.3.3.2.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Etapa 2.3.3.2.4.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Etapa 2.3.3.2.4.3.2

Eleve $\sqrt[4]{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Etapa 2.3.3.2.4.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Etapa 2.3.3.2.4.3.4

Some $1$ e $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Etapa 2.3.3.2.4.3.5

Reescreva ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.4.3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{3}$ como $3^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Etapa 2.3.3.2.4.3.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Etapa 2.3.3.2.4.3.5.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $4$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Etapa 2.3.3.2.4.3.5.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.4.3.5.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Etapa 2.3.3.2.4.3.5.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Etapa 2.3.3.2.4.3.5.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Etapa 2.3.3.2.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.4.4.1

Reescreva ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ como $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Etapa 2.3.3.2.4.4.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt[4]{27}}{3}$

Etapa 2.3.3.2.4.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.4.5.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5 \cdot 27}}{3}$

Etapa 2.3.3.2.4.5.2

Multiplique $5$ por $27$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$

Etapa 2.3.3.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$

Etapa 2.3.3.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$

Etapa 2.3.3.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $8 x^{3} (3 x^{4} - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $0$ em $f (x) = \frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5}}{{(0)}^{4} + 1}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0^{4} + 1}$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0 + 1}$

Etapa 3.1.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{1}$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Etapa 3.1.2.3.2

Divida $0$ por $1$ .

$f (0) = 0$

Etapa 3.1.2.4

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = \frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 3.3

Substitua $\frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ em $f (x) = \frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 {(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{5}}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{{\sqrt[4]{135}}^{5}}{3^{5}})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.1

Reescreva ${\sqrt[4]{135}}^{5}$ como $\sqrt[4]{135^{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{\sqrt[4]{135^{5}}}{3^{5}})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Eleve $135$ à potência de $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{\sqrt[4]{44840334375}}{3^{5}})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.3.2.1.2.3

Reescreva $44840334375$ como $135^{4} \cdot 135$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.3.1

Fatore $332150625$ de $44840334375$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{\sqrt[4]{332150625 (135)}}{3^{5}})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.3.2.1.2.3.2

Reescreva $332150625$ como $135^{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{\sqrt[4]{135^{4} \cdot 135}}{3^{5}})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.3.2.1.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{135 \sqrt[4]{135}}{3^{5}})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.3.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{135 \sqrt[4]{135}}{243})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $135$ e $243$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.4.1

Fatore $27$ de $135 \sqrt[4]{135}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{27 (5 \sqrt[4]{135})}{243})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.3.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.4.2.1

Fatore $27$ de $243$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{27 (5 \sqrt[4]{135})}{27 (9)})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.3.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{27 (5 \sqrt[4]{135})}{27 \cdot 9})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.3.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{{\sqrt[4]{135}}^{4}}{3^{4}} + 1}$

Etapa 3.3.2.2.2

Reescreva ${\sqrt[4]{135}}^{4}$ como $135$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{135}$ como $135^{\frac{1}{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{{(135^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} + 1}$

Etapa 3.3.2.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{135^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} + 1}$

Etapa 3.3.2.2.2.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{135^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1}$

Etapa 3.3.2.2.2.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{135^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1}$

Etapa 3.3.2.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{135}{3^{4}} + 1}$

Etapa 3.3.2.2.2.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{135}{3^{4}} + 1}$

Etapa 3.3.2.2.3

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{135}{81} + 1}$

Etapa 3.3.2.2.4

Cancele o fator comum de $135$ e $81$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.4.1

Fatore $27$ de $135$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{27 (5)}{81} + 1}$

Etapa 3.3.2.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.4.2.1

Fatore $27$ de $81$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{27 \cdot 5}{27 \cdot 3} + 1}$

Etapa 3.3.2.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{27 \cdot 5}{27 \cdot 3} + 1}$

Etapa 3.3.2.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{5}{3} + 1}$

Etapa 3.3.2.2.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{5}{3} + \frac{3}{3}}$

Etapa 3.3.2.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{5 + 3}{3}}$

Etapa 3.3.2.2.7

Some $5$ e $3$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{8}{3}}$

Etapa 3.3.2.3

Combine $2$ e $\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{\frac{2 (5 \sqrt[4]{135})}{9}}{\frac{8}{3}}$

Etapa 3.3.2.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{\frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{8}{3}}$

Etapa 3.3.2.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9} \cdot \frac{3}{8}$

Etapa 3.3.2.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.6.1

Fatore $2$ de $10 \sqrt[4]{135}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (5 \sqrt[4]{135})}{9} \cdot \frac{3}{8}$

Etapa 3.3.2.6.2

Fatore $2$ de $8$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (5 \sqrt[4]{135})}{9} \cdot \frac{3}{2 (4)}$

Etapa 3.3.2.6.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (5 \sqrt[4]{135})}{9} \cdot \frac{3}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.3.2.6.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{5 \sqrt[4]{135}}{9} \cdot \frac{3}{4}$

Etapa 3.3.2.7

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.7.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{5 \sqrt[4]{135}}{3 (3)} \cdot \frac{3}{4}$

Etapa 3.3.2.7.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{5 \sqrt[4]{135}}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3}{4}$

Etapa 3.3.2.7.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{5 \sqrt[4]{135}}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 3.3.2.8

Multiplique $\frac{5 \sqrt[4]{135}}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{5 \sqrt[4]{135}}{3 \cdot 4}$

Etapa 3.3.2.9

Multiplique $3$ por $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}$

Etapa 3.3.2.10

A resposta final é $\frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}$ .

$\frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $\frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ em $f (x) = \frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$ é $(\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12})$

Etapa 3.5

Substitua $- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ em $f (x) = \frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 {(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{5}}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 {(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{5}}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.5.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 {(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{5})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.5.2.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{{\sqrt[4]{135}}^{5}}{3^{5}})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.5.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.4.1

Reescreva ${\sqrt[4]{135}}^{5}$ como $\sqrt[4]{135^{5}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt[4]{135^{5}}}{3^{5}})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.5.2.1.4.2

Eleve $135$ à potência de $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt[4]{44840334375}}{3^{5}})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.5.2.1.4.3

Reescreva $44840334375$ como $135^{4} \cdot 135$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.4.3.1

Fatore $332150625$ de $44840334375$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt[4]{332150625 (135)}}{3^{5}})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.5.2.1.4.3.2

Reescreva $332150625$ como $135^{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt[4]{135^{4} \cdot 135}}{3^{5}})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.5.2.1.4.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{135 \sqrt[4]{135}}{3^{5}})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.5.2.1.5

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{135 \sqrt[4]{135}}{243})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.5.2.1.6

Cancele o fator comum de $135$ e $243$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.6.1

Fatore $27$ de $135 \sqrt[4]{135}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{27 (5 \sqrt[4]{135})}{243})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.5.2.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.6.2.1

Fatore $27$ de $243$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{27 (5 \sqrt[4]{135})}{27 (9)})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.5.2.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{27 (5 \sqrt[4]{135})}{27 \cdot 9})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.5.2.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.5.2.1.7

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.7.1

Fatore o negativo.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- (2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9}))}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.5.2.1.7.2

Combine $2$ e $\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{2 (5 \sqrt[4]{135})}{9}}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.5.2.1.7.3

Multiplique $5$ por $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{{(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Etapa 3.5.2.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{{(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt[4]{135}}^{4}}{3^{4}}) + 1}$

Etapa 3.5.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{1 (\frac{{\sqrt[4]{135}}^{4}}{3^{4}}) + 1}$

Etapa 3.5.2.2.3

Multiplique $\frac{{\sqrt[4]{135}}^{4}}{3^{4}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{{\sqrt[4]{135}}^{4}}{3^{4}} + 1}$

Etapa 3.5.2.2.4

Reescreva ${\sqrt[4]{135}}^{4}$ como $135$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{135}$ como $135^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{{(135^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} + 1}$

Etapa 3.5.2.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{135^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} + 1}$

Etapa 3.5.2.2.4.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{135^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1}$

Etapa 3.5.2.2.4.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{135^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1}$

Etapa 3.5.2.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{135}{3^{4}} + 1}$

Etapa 3.5.2.2.4.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{135}{3^{4}} + 1}$

Etapa 3.5.2.2.5

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{135}{81} + 1}$

Etapa 3.5.2.2.6

Cancele o fator comum de $135$ e $81$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.6.1

Fatore $27$ de $135$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{27 (5)}{81} + 1}$

Etapa 3.5.2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.6.2.1

Fatore $27$ de $81$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{27 \cdot 5}{27 \cdot 3} + 1}$

Etapa 3.5.2.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{27 \cdot 5}{27 \cdot 3} + 1}$

Etapa 3.5.2.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{5}{3} + 1}$

Etapa 3.5.2.2.7

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{5}{3} + \frac{3}{3}}$

Etapa 3.5.2.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{5 + 3}{3}}$

Etapa 3.5.2.2.9

Some $5$ e $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{8}{3}}$

Etapa 3.5.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = - \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9} \cdot \frac{3}{8}$

Etapa 3.5.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}$ para o numerador.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- 10 \sqrt[4]{135}}{9} \cdot \frac{3}{8}$

Etapa 3.5.2.4.2

Fatore $2$ de $- 10 \sqrt[4]{135}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (- 5 \sqrt[4]{135})}{9} \cdot \frac{3}{8}$

Etapa 3.5.2.4.3

Fatore $2$ de $8$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (- 5 \sqrt[4]{135})}{9} \cdot \frac{3}{2 (4)}$

Etapa 3.5.2.4.4

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (- 5 \sqrt[4]{135})}{9} \cdot \frac{3}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.5.2.4.5

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- 5 \sqrt[4]{135}}{9} \cdot \frac{3}{4}$

Etapa 3.5.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.5.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- 5 \sqrt[4]{135}}{3 (3)} \cdot \frac{3}{4}$

Etapa 3.5.2.5.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- 5 \sqrt[4]{135}}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3}{4}$

Etapa 3.5.2.5.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- 5 \sqrt[4]{135}}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 3.5.2.6

Multiplique $\frac{- 5 \sqrt[4]{135}}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- 5 \sqrt[4]{135}}{3 \cdot 4}$

Etapa 3.5.2.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.7.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- 5 \sqrt[4]{135}}{12}$

Etapa 3.5.2.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = - \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}$

Etapa 3.5.2.8

A resposta final é $- \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}$ .

$- \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}$

Etapa 3.6

O ponto encontrado ao substituir $- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ em $f (x) = \frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$ é $(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, - \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, - \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12})$

Etapa 3.7

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}), (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, - \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) \cup (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{135}}{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.23621936$ na expressão.

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{8 {(- 1.23621936)}^{3} (3 {(- 1.23621936)}^{4} - 5)}{{({(- 1.23621936)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 1.23621936$ à potência de $4$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{8 {(- 1.23621936)}^{3} (3 \cdot 2.33551236 - 5)}{{({(- 1.23621936)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $3$ por $2.33551236$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{8 {(- 1.23621936)}^{3} (7.0065371 - 5)}{{({(- 1.23621936)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.3

Subtraia $5$ de $7.0065371$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{8 {(- 1.23621936)}^{3} \cdot 2.0065371}{{({(- 1.23621936)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.4

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.1

Multiplique $2.0065371$ por $8$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{16.05229685 {(- 1.23621936)}^{3}}{{({(- 1.23621936)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.4.2

Multiplique $16.05229685$ por ${(- 1.23621936)}^{3}$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{- 30.32660615}{{({(- 1.23621936)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Eleve $- 1.23621936$ à potência de $4$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{- 30.32660615}{{(2.33551236 + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $2.33551236$ e $1$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{- 30.32660615}{{3.33551236}^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $3.33551236$ à potência de $3$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{- 30.32660615}{37.10971904}$

Etapa 5.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Divida $- 30.32660615$ por $37.10971904$ .

$f'' (- 1.23621936) = 0.81721465$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 0.81721465$ .

$f'' (- 1.23621936) = 0.81721465$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $0.81721465$ .

$0.81721465$

Etapa 5.3

Em $- 1.23621936$ , a segunda derivada é $0.81721465$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{135}}{3})$ .

Acréscimo em $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{135}}{3})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.56810968$ na expressão.

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{8 {(- 0.56810968)}^{3} (3 {(- 0.56810968)}^{4} - 5)}{{({(- 0.56810968)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 0.56810968$ à potência de $4$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{8 {(- 0.56810968)}^{3} (3 \cdot 0.1041\overline{6} - 5)}{{({(- 0.56810968)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $0.1041\overline{6}$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{8 {(- 0.56810968)}^{3} (0.3125 - 5)}{{({(- 0.56810968)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.3

Subtraia $5$ de $0.3125$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{8 {(- 0.56810968)}^{3} \cdot - 4.6874\overline{9}}{{({(- 0.56810968)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.4

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.4.1

Multiplique $- 4.6874\overline{9}$ por $8$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{- 37.4\overline{9} {(- 0.56810968)}^{3}}{{({(- 0.56810968)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.4.2

Multiplique $- 37.4\overline{9}$ por ${(- 0.56810968)}^{3}$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{6.87587294}{{({(- 0.56810968)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 0.56810968$ à potência de $4$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{6.87587294}{{(0.1041\overline{6} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $0.1041\overline{6}$ e $1$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{6.87587294}{{1.1041\overline{6}}^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $1.1041\overline{6}$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{6.87587294}{1.34618236}$

Etapa 6.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Divida $6.87587294$ por $1.34618236$ .

$f'' (- 0.56810968) = - 1 \cdot 5.10768312$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $5.10768312$ .

$f'' (- 0.56810968) = - 5.10768312$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- 5.10768312$ .

$- 5.10768312$

Etapa 6.3

Em $- 0.56810968$ , a segunda derivada é $- 5.10768312$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, 0)$ .

Decréscimo em $(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \frac{\sqrt[4]{135}}{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.56810968$ na expressão.

$f'' (0.56810968) = - \frac{8 {(0.56810968)}^{3} (3 {(0.56810968)}^{4} - 5)}{{({(0.56810968)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $0.56810968$ à potência de $4$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{8 \cdot ({0.56810968}^{3} (3 \cdot 0.1041\overline{6} - 5))}{{({0.56810968}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $3$ por $0.1041\overline{6}$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{8 \cdot ({0.56810968}^{3} (0.3125 - 5))}{{({0.56810968}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.3

Subtraia $5$ de $0.3125$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{8 \cdot {0.56810968}^{3} \cdot - 4.6874\overline{9}}{{({0.56810968}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.4

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.4.1

Multiplique $- 4.6874\overline{9}$ por $8$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{- 37.4\overline{9} \cdot {0.56810968}^{3}}{{({0.56810968}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.4.2

Multiplique $- 37.4\overline{9}$ por ${0.56810968}^{3}$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{- 6.87587294}{{({0.56810968}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $0.56810968$ à potência de $4$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{- 6.87587294}{{(0.1041\overline{6} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $0.1041\overline{6}$ e $1$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{- 6.87587294}{{1.1041\overline{6}}^{3}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $1.1041\overline{6}$ à potência de $3$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{- 6.87587294}{1.34618236}$

Etapa 7.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Divida $- 6.87587294$ por $1.34618236$ .

$f'' (0.56810968) = 5.10768312$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 5.10768312$ .

$f'' (0.56810968) = 5.10768312$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $5.10768312$ .

$5.10768312$

Etapa 7.3

Em $0.56810968$ , a segunda derivada é $5.10768312$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, \frac{\sqrt[4]{135}}{3})$ .

Acréscimo em $(0, \frac{\sqrt[4]{135}}{3})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1.23621936$ na expressão.

$f'' (1.23621936) = - \frac{8 {(1.23621936)}^{3} (3 {(1.23621936)}^{4} - 5)}{{({(1.23621936)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $1.23621936$ à potência de $4$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{8 \cdot ({1.23621936}^{3} (3 \cdot 2.33551236 - 5))}{{({1.23621936}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $3$ por $2.33551236$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{8 \cdot ({1.23621936}^{3} (7.0065371 - 5))}{{({1.23621936}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.3

Subtraia $5$ de $7.0065371$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{8 \cdot {1.23621936}^{3} \cdot 2.0065371}{{({1.23621936}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.4

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.4.1

Multiplique $2.0065371$ por $8$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{16.05229685 \cdot {1.23621936}^{3}}{{({1.23621936}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.4.2

Multiplique $16.05229685$ por ${1.23621936}^{3}$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{30.32660615}{{({1.23621936}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Eleve $1.23621936$ à potência de $4$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{30.32660615}{{(2.33551236 + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.2.2

Some $2.33551236$ e $1$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{30.32660615}{{3.33551236}^{3}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $3.33551236$ à potência de $3$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{30.32660615}{37.10971904}$

Etapa 8.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Divida $30.32660615$ por $37.10971904$ .

$f'' (1.23621936) = - 1 \cdot 0.81721465$

Etapa 8.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $0.81721465$ .

$f'' (1.23621936) = - 0.81721465$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $- 0.81721465$ .

$- 0.81721465$

Etapa 8.3

Em $1.23621936$ , a segunda derivada é $- 0.81721465$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \infty)$ .

Decréscimo em $(\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 9

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, - \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}), (0, 0), (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12})$ .

$(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, - \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}), (0, 0), (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12})$

Etapa 10