Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{4} + 1$ .

$2 \frac{3 \cdot (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.6.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.4

Multiplique $x^{3}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.4.1

Mova $x^{3}$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.3

Some $3$ e $3$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.5

Combine $2$ e $\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

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Etapa 1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 ((3 x^{4} + 3 \cdot 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (3 x^{4} x^{2}) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.6.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.6.4.1.1

Multiplique $x^{4}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.6.4.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{2 (3 (x^{2} x^{4})) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (3 x^{2 + 4}) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4.1.1.3

Some $2$ e $4$ .

$\frac{2 (3 x^{6}) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 x^{6} + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4.1.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{6 x^{6} + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4.1.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 x^{6} + 6 x^{2} + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4.1.5

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{6 x^{6} + 6 x^{2} - 8 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4.2

Subtraia $8 x^{6}$ de $6 x^{6}$ .

$\frac{- 2 x^{6} + 6 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.5

Fatore $2 x^{2}$ de $- 2 x^{6} + 6 x^{2}$ .

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Etapa 1.1.6.5.1

Fatore $2 x^{2}$ de $- 2 x^{6}$ .

$\frac{2 x^{2} (- x^{4}) + 6 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.5.2

Fatore $2 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} (- x^{4}) + 2 x^{2} (3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.5.3

Fatore $2 x^{2}$ de $2 x^{2} (- x^{4}) + 2 x^{2} (3)$ .

$\frac{2 x^{2} (- x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.6

Fatore $- 1$ de $- x^{4}$ .

$\frac{2 x^{2} (- (x^{4}) + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.7

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x^{2} (- (x^{4}) - 1 (- 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.8

Fatore $- 1$ de $- (x^{4}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x^{2} (- (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.9

Reescreva $- (x^{4} - 3)$ como $- 1 (x^{4} - 3)$ .

$\frac{2 x^{2} (- 1 (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{(2 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2 x^{2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}]$

Etapa 1.2.2

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{4} - 3)] - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{4} - 3)] - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{4} - 3)] - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{4} - 3$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3] + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5

Diferencie.

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Etapa 1.2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (4 x^{3} + 0) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (4 x^{3}) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.6

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.6.1

Mova $x^{3}$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{3} x^{2} \cdot 4 + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{3 + 2} \cdot 4 + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.6.3

Some $3$ e $2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{5} \cdot 4 + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.2.7.1

Mova $4$ para a esquerda de $x^{5}$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 \cdot x^{5} + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + (x^{4} - 3) (2 x)) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.7.3

Mova $2$ para a esquerda de $x^{4} - 3$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 \cdot (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

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Etapa 1.2.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4} + 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) (2 u \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} + 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) (2 (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.9

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.2.9.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.9.2

Fatore $x^{4} + 1$ de ${(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$ .

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Etapa 1.2.9.2.1

Fatore $x^{4} + 1$ de ${(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.9.2.2

Fatore $x^{4} + 1$ de $- 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)) + (x^{4} + 1) (- 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.9.2.3

Fatore $x^{4} + 1$ de $(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)) + (x^{4} + 1) (- 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.10

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.10.1

Fatore $x^{4} + 1$ de ${(x^{4} + 1)}^{4}$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.10.2

Cancele o fator comum.

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.10.3

Reescreva a expressão.

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.13

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.14

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.14.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.14.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{2} (x^{4} - 3) x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.15

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.15.1

Mova $x^{3}$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 (x^{3} x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.15.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{3 + 2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.15.3

Some $3$ e $2$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.16

Combine $- 2$ e $\frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + (2 x^{4} + 2 \cdot - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{4} x + 2 \cdot - 3 x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{4} x + 2 \cdot - 3 x) - 8 x^{5} x^{4} - 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{4} x + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.18.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.18.5.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.18.5.1.1.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.18.5.1.1.1.1

Mova $x$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x \cdot x^{4}) + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.18.5.1.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{1} x^{4}) + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{1 + 4} + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.1.1.3

Some $1$ e $4$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{5} + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.1.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.2

Some $4 x^{5}$ e $2 x^{5}$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (6 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.3

Expanda $(x^{4} + 1) (6 x^{5} - 6 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.18.5.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (x^{4} (6 x^{5} - 6 x) + 1 (6 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (x^{4} (6 x^{5}) + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (x^{4} (6 x^{5}) + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.18.5.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.18.5.1.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{2 (6 x^{4} x^{5} + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.4.1.2

Multiplique $x^{4}$ por $x^{5}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.18.5.1.4.1.2.1

Mova $x^{5}$ .

$- \frac{2 (6 (x^{5} x^{4}) + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 (6 x^{5 + 4} + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.4.1.2.3

Some $5$ e $4$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.4.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{4} x + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.4.1.4

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.18.5.1.4.1.4.1

Mova $x$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 (x \cdot x^{4}) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.4.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.18.5.1.4.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 (x^{1} x^{4}) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.4.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{1 + 4} + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.4.1.4.3

Some $1$ e $4$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{5} + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.4.1.5

Multiplique $6 x^{5}$ por $1$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{5} + 6 x^{5} + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.4.1.6

Multiplique $- 6 x$ por $1$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{5} + 6 x^{5} - 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.4.2

Some $- 6 x^{5}$ e $6 x^{5}$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} + 0 - 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.4.3

Some $6 x^{9}$ e $0$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (6 x^{9}) + 2 (- 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.6

Multiplique $6$ por $2$ .

$- \frac{12 x^{9} + 2 (- 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.7

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.8

Multiplique $x^{5}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.18.5.1.8.1

Mova $x^{4}$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 (x^{4} x^{5})) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.8.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 x^{4 + 5}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.8.3

Some $4$ e $5$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 x^{9}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.9

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x - 16 x^{9} + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.10

Multiplique $- 3$ por $- 8$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x - 16 x^{9} + 2 (24 x^{5})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.1.11

Multiplique $24$ por $2$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x - 16 x^{9} + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.5.2

Subtraia $16 x^{9}$ de $12 x^{9}$ .

$- \frac{- 4 x^{9} - 12 x + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.18.6.1

Fatore $4 x$ de $- 4 x^{9} - 12 x + 48 x^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.18.6.1.1

Fatore $4 x$ de $- 4 x^{9}$ .

$- \frac{4 x (- x^{8}) - 12 x + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.6.1.2

Fatore $4 x$ de $- 12 x$ .

$- \frac{4 x (- x^{8}) + 4 x (- 3) + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.6.1.3

Fatore $4 x$ de $48 x^{5}$ .

$- \frac{4 x (- x^{8}) + 4 x (- 3) + 4 x (12 x^{4})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.6.1.4

Fatore $4 x$ de $4 x (- x^{8}) + 4 x (- 3)$ .

$- \frac{4 x (- x^{8} - 3) + 4 x (12 x^{4})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.6.1.5

Fatore $4 x$ de $4 x (- x^{8} - 3) + 4 x (12 x^{4})$ .

$- \frac{4 x (- x^{8} - 3 + 12 x^{4})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.6.2

Reordene os termos.

$- \frac{4 x (- x^{8} + 12 x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.7

Fatore $- 1$ de $- x^{8}$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8}) + 12 x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.8

Fatore $- 1$ de $12 x^{4}$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8}) - (- 12 x^{4}) - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.9

Fatore $- 1$ de $- (x^{8}) - (- 12 x^{4})$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8} - 12 x^{4}) - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.10

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8} - 12 x^{4}) - 1 (3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.11

Fatore $- 1$ de $- (x^{8} - 12 x^{4}) - 1 (3)$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8} - 12 x^{4} + 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.12

Reescreva $- (x^{8} - 12 x^{4} + 3)$ como $- 1 (x^{8} - 12 x^{4} + 3)$ .

$- \frac{4 x (- 1 (x^{8} - 12 x^{4} + 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.14

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.15

Multiplique $\frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ por $1$ .

$\frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.18.16

Reordene os fatores em $\frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}} = 0$

Etapa 2.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx - 1.85122502, - 0.7109206, 0, 0.7109206, 1.85122502$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $- 1.85122502$ em $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.85122502$ na expressão.

$f (- 1.85122502) = \frac{2 {(- 1.85122502)}^{3}}{{(- 1.85122502)}^{4} + 1}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Eleve $- 1.85122502$ à potência de $3$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{2 \cdot - 6.34421126}{{(- 1.85122502)}^{4} + 1}$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Eleve $- 1.85122502$ à potência de $4$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{2 \cdot - 6.34421126}{11.74456266 + 1}$

Etapa 3.1.2.2.2

Some $11.74456266$ e $1$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{2 \cdot - 6.34421126}{12.74456266}$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1

Multiplique $2$ por $- 6.34421126$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{- 12.68842253}{12.74456266}$

Etapa 3.1.2.3.2

Divida $- 12.68842253$ por $12.74456266$ .

$f (- 1.85122502) = - 0.99559497$

Etapa 3.1.2.4

A resposta final é $- 0.99559497$ .

$- 0.99559497$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $- 1.85122502$ em $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ é $(- 1.85122502, - 0.99559497)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 1.85122502, - 0.99559497)$

Etapa 3.3

Substitua $- 0.7109206$ em $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.7109206$ na expressão.

$f (- 0.7109206) = \frac{2 {(- 0.7109206)}^{3}}{{(- 0.7109206)}^{4} + 1}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Eleve $- 0.7109206$ à potência de $3$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{2 \cdot - 0.35930503}{{(- 0.7109206)}^{4} + 1}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Eleve $- 0.7109206$ à potência de $4$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{2 \cdot - 0.35930503}{0.25543735 + 1}$

Etapa 3.3.2.2.2

Some $0.25543735$ e $1$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{2 \cdot - 0.35930503}{1.25543735}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Multiplique $2$ por $- 0.35930503$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{- 0.71861007}{1.25543735}$

Etapa 3.3.2.3.2

Divida $- 0.71861007$ por $1.25543735$ .

$f (- 0.7109206) = - 0.57239819$

Etapa 3.3.2.4

A resposta final é $- 0.57239819$ .

$- 0.57239819$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $- 0.7109206$ em $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ é $(- 0.7109206, - 0.57239819)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 0.7109206, - 0.57239819)$

Etapa 3.5

Substitua $0$ em $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{3}}{{(0)}^{4} + 1}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0^{4} + 1}$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0 + 1}$

Etapa 3.5.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{1}$

Etapa 3.5.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Etapa 3.5.2.3.2

Divida $0$ por $1$ .

$f (0) = 0$

Etapa 3.5.2.4

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3.6

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 3.7

Substitua $0.7109206$ em $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Substitua a variável $x$ por $0.7109206$ na expressão.

$f (0.7109206) = \frac{2 {(0.7109206)}^{3}}{{(0.7109206)}^{4} + 1}$

Etapa 3.7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1

Eleve $0.7109206$ à potência de $3$ .

$f (0.7109206) = \frac{2 \cdot 0.35930503}{{0.7109206}^{4} + 1}$

Etapa 3.7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.2.1

Eleve $0.7109206$ à potência de $4$ .

$f (0.7109206) = \frac{2 \cdot 0.35930503}{0.25543735 + 1}$

Etapa 3.7.2.2.2

Some $0.25543735$ e $1$ .

$f (0.7109206) = \frac{2 \cdot 0.35930503}{1.25543735}$

Etapa 3.7.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.3.1

Multiplique $2$ por $0.35930503$ .

$f (0.7109206) = \frac{0.71861007}{1.25543735}$

Etapa 3.7.2.3.2

Divida $0.71861007$ por $1.25543735$ .

$f (0.7109206) = 0.57239819$

Etapa 3.7.2.4

A resposta final é $0.57239819$ .

$0.57239819$

Etapa 3.8

O ponto encontrado ao substituir $0.7109206$ em $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ é $(0.7109206, 0.57239819)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0.7109206, 0.57239819)$

Etapa 3.9

Substitua $1.85122502$ em $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Substitua a variável $x$ por $1.85122502$ na expressão.

$f (1.85122502) = \frac{2 {(1.85122502)}^{3}}{{(1.85122502)}^{4} + 1}$

Etapa 3.9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.1

Eleve $1.85122502$ à potência de $3$ .

$f (1.85122502) = \frac{2 \cdot 6.34421126}{{1.85122502}^{4} + 1}$

Etapa 3.9.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.2.1

Eleve $1.85122502$ à potência de $4$ .

$f (1.85122502) = \frac{2 \cdot 6.34421126}{11.74456266 + 1}$

Etapa 3.9.2.2.2

Some $11.74456266$ e $1$ .

$f (1.85122502) = \frac{2 \cdot 6.34421126}{12.74456266}$

Etapa 3.9.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.3.1

Multiplique $2$ por $6.34421126$ .

$f (1.85122502) = \frac{12.68842253}{12.74456266}$

Etapa 3.9.2.3.2

Divida $12.68842253$ por $12.74456266$ .

$f (1.85122502) = 0.99559497$

Etapa 3.9.2.4

A resposta final é $0.99559497$ .

$0.99559497$

Etapa 3.10

O ponto encontrado ao substituir $1.85122502$ em $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ é $(1.85122502, 0.99559497)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(1.85122502, 0.99559497)$

Etapa 3.11

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(- 1.85122502, - 0.99559497), (- 0.7109206, - 0.57239819), (0, 0), (0.7109206, 0.57239819), (1.85122502, 0.99559497)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 1.85122502) \cup (- 1.85122502, - 0.7109206) \cup (- 0.7109206, 0) \cup (0, 0.7109206) \cup (0.7109206, 1.85122502) \cup (1.85122502, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1.85122502)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.95122502$ na expressão.

$f'' (- 1.95122502) = \frac{4 (- 1.95122502) ({(- 1.95122502)}^{8} - 12 {(- 1.95122502)}^{4} + 3)}{{({(- 1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique $4$ por $- 1.95122502$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 7.80490009 ({(- 1.95122502)}^{8} - 12 {(- 1.95122502)}^{4} + 3)}{{({(- 1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 7.80490009$ por ${(- 1.95122502)}^{8} - 12 {(- 1.95122502)}^{4} + 3$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{{({(- 1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Eleve $- 1.95122502$ à potência de $4$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{{(14.49537411 + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $14.49537411$ e $1$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{{15.49537411}^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $15.49537411$ à potência de $3$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{3720.54188867}$

Etapa 5.2.3

Divida $- 305.72871822$ por $3720.54188867$ .

$f'' (- 1.95122502) = - 0.08217316$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $- 0.08217316$ .

$- 0.08217316$

Etapa 5.3

Em $- 1.95122502$ , a segunda derivada é $- 0.08217316$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - 1.85122502)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 1.85122502)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 1.85122502, - 0.7109206)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.28107281$ na expressão.

$f'' (- 1.28107281) = \frac{4 (- 1.28107281) ({(- 1.28107281)}^{8} - 12 {(- 1.28107281)}^{4} + 3)}{{({(- 1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $4$ por $- 1.28107281$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{- 5.12429125 ({(- 1.28107281)}^{8} - 12 {(- 1.28107281)}^{4} + 3)}{{({(- 1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 5.12429125$ por ${(- 1.28107281)}^{8} - 12 {(- 1.28107281)}^{4} + 3$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{{({(- 1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 1.28107281$ à potência de $4$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{{(2.6933653 + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $2.6933653$ e $1$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{{3.6933653}^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $3.6933653$ à potência de $3$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{50.38100121}$

Etapa 6.2.3

Divida $113.07346647$ por $50.38100121$ .

$f'' (- 1.28107281) = 2.24436719$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $2.24436719$ .

$2.24436719$

Etapa 6.3

Em $- 1.28107281$ , a segunda derivada é $2.24436719$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 1.85122502, - 0.7109206)$ .

Acréscimo em $(- 1.85122502, - 0.7109206)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 0.7109206, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.3554603$ na expressão.

$f'' (- 0.3554603) = \frac{4 (- 0.3554603) ({(- 0.3554603)}^{8} - 12 {(- 0.3554603)}^{4} + 3)}{{({(- 0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Multiplique $4$ por $- 0.3554603$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 1.4218412 ({(- 0.3554603)}^{8} - 12 {(- 0.3554603)}^{4} + 3)}{{({(- 0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 1.4218412$ por ${(- 0.3554603)}^{8} - 12 {(- 0.3554603)}^{4} + 3$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{{({(- 0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $- 0.3554603$ à potência de $4$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{{(0.01596483 + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $0.01596483$ e $1$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{{1.01596483}^{3}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $1.01596483$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{1.0486632}$

Etapa 7.2.3

Divida $- 3.9934925$ por $1.0486632$ .

$f'' (- 0.3554603) = - 3.80817454$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $- 3.80817454$ .

$- 3.80817454$

Etapa 7.3

Em $- 0.3554603$ , a segunda derivada é $- 3.80817454$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 0.7109206, 0)$ .

Decréscimo em $(- 0.7109206, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, 0.7109206)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $0.3554603$ na expressão.

$f'' (0.3554603) = \frac{4 (0.3554603) ({(0.3554603)}^{8} - 12 {(0.3554603)}^{4} + 3)}{{({(0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Multiplique $4$ por $0.3554603$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{1.4218412 ({0.3554603}^{8} - 12 \cdot {0.3554603}^{4} + 3)}{{({0.3554603}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $1.4218412$ por ${0.3554603}^{8} - 12 \cdot {0.3554603}^{4} + 3$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{{({0.3554603}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Eleve $0.3554603$ à potência de $4$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{{(0.01596483 + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.2.2

Some $0.01596483$ e $1$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{{1.01596483}^{3}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $1.01596483$ à potência de $3$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{1.0486632}$

Etapa 8.2.3

Divida $3.9934925$ por $1.0486632$ .

$f'' (0.3554603) = 3.80817454$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $3.80817454$ .

$3.80817454$

Etapa 8.3

Em $0.3554603$ , a segunda derivada é $3.80817454$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, 0.7109206)$ .

Acréscimo em $(0, 0.7109206)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(0.7109206, 1.85122502)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $1.28107281$ na expressão.

$f'' (1.28107281) = \frac{4 (1.28107281) ({(1.28107281)}^{8} - 12 {(1.28107281)}^{4} + 3)}{{({(1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Multiplique $4$ por $1.28107281$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{5.12429125 ({1.28107281}^{8} - 12 \cdot {1.28107281}^{4} + 3)}{{({1.28107281}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $5.12429125$ por ${1.28107281}^{8} - 12 \cdot {1.28107281}^{4} + 3$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{{({1.28107281}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Eleve $1.28107281$ à potência de $4$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{{(2.6933653 + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.2.2

Some $2.6933653$ e $1$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{{3.6933653}^{3}}$

Etapa 9.2.2.3

Eleve $3.6933653$ à potência de $3$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{50.38100121}$

Etapa 9.2.3

Divida $- 113.07346647$ por $50.38100121$ .

$f'' (1.28107281) = - 2.24436719$

Etapa 9.2.4

A resposta final é $- 2.24436719$ .

$- 2.24436719$

Etapa 9.3

Em $1.28107281$ , a segunda derivada é $- 2.24436719$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0.7109206, 1.85122502)$ .

Decréscimo em $(0.7109206, 1.85122502)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 10

Substitua um valor do intervalo $(1.85122502, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $1.95122502$ na expressão.

$f'' (1.95122502) = \frac{4 (1.95122502) ({(1.95122502)}^{8} - 12 {(1.95122502)}^{4} + 3)}{{({(1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1

Multiplique $4$ por $1.95122502$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{7.80490009 ({1.95122502}^{8} - 12 \cdot {1.95122502}^{4} + 3)}{{({1.95122502}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2.1.2

Multiplique $7.80490009$ por ${1.95122502}^{8} - 12 \cdot {1.95122502}^{4} + 3$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{{({1.95122502}^{4} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Eleve $1.95122502$ à potência de $4$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{{(14.49537411 + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2.2.2

Some $14.49537411$ e $1$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{{15.49537411}^{3}}$

Etapa 10.2.2.3

Eleve $15.49537411$ à potência de $3$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{3720.54188869}$

Etapa 10.2.3

Divida $305.72871822$ por $3720.54188869$ .

$f'' (1.95122502) = 0.08217316$

Etapa 10.2.4

A resposta final é $0.08217316$ .

$0.08217316$

Etapa 10.3

Em $1.95122502$ , a segunda derivada é $0.08217316$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(1.85122502, \infty)$ .

Acréscimo em $(1.85122502, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 11

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- 1.85122502, - 0.99559497), (- 0.7109206, - 0.57239819), (0, 0), (0.7109206, 0.57239819), (1.85122502, 0.99559497)$ .

$(- 1.85122502, - 0.99559497), (- 0.7109206, - 0.57239819), (0, 0), (0.7109206, 0.57239819), (1.85122502, 0.99559497)$

Etapa 12