Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x}$ , $(3, \sqrt{3})$

Etapa 1

Verifique se o ponto determinado está no gráfico da função fornecida.

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Etapa 1.1

Avalie $f (x) = \sqrt{x}$ em $x = 3$ .

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Etapa 1.1.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \sqrt{3}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 1.1.2.1

Remova os parênteses.

$f (3) = \sqrt{3}$

Etapa 1.1.2.2

A resposta final é $\sqrt{3}$ .

$\sqrt{3}$

Etapa 1.2

Como $\sqrt{3} = \sqrt{3}$ , o ponto está no gráfico.

O ponto está no gráfico

Etapa 2

A inclinação da reta tangente é a derivada da expressão.

$m$ $=$ A derivada de $f (x) = \sqrt{x}$

Etapa 3

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 4

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 4.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Remova os parênteses.

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

Etapa 4.1.2.2

A resposta final é $\sqrt{x + h}$ .

$\sqrt{x + h}$

Etapa 4.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

$f (x) = \sqrt{x}$

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

$f (x) = \sqrt{x}$

Etapa 5

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - (\sqrt{x})}{h}$

Etapa 6

Multiplique $- 1$ por $\sqrt{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$

Etapa 7

Não há valores à esquerda de $0$ no domínio de $\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$ , então, o limite não existe.

$Não existe$

Etapa 8

Encontre a inclinação $m$ . Neste caso, $m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$ .

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Etapa 8.1

Multiplique $e$ por $3$ .

$m = D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))$

Etapa 8.2

Remova os parênteses.

$m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$

Etapa 9

A inclinação é $m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$ , e o ponto é $(3, \sqrt{3})$ .

$m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$

$m = (3, \sqrt{3})$

Etapa 10

Multiplique $e$ por $3$ .

$m = D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))$

Etapa 11

Encontre o valor de $b$ usando a fórmula para a equação de uma linha.

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Etapa 11.1

Use a fórmula para a equação de uma reta para encontrar $b$ .

$y = m x + b$

Etapa 11.2

Substitua o valor de $m$ na equação.

$y = (D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))) \cdot x + b$

Etapa 11.3

Substitua o valor de $x$ na equação.

$y = (D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))) \cdot (3) + b$

Etapa 11.4

Substitua o valor de $y$ na equação.

$\sqrt{3} = (D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))) \cdot (3) + b$

Etapa 11.5

Encontre o valor de $b$ .

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Etapa 11.5.1

Reescreva a equação como $D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$ .

$D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Etapa 11.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.5.2.1

Multiplique $o$ por $o$ somando os expoentes.

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Etapa 11.5.2.1.1

Mova $o$ .

$D (o \cdot o) e s (n t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Etapa 11.5.2.1.2

Multiplique $o$ por $o$ .

$D o^{2} e s (n t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Etapa 11.5.2.2

Multiplique $s$ por $s$ somando os expoentes.

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Etapa 11.5.2.2.1

Mova $s$ .

$D o^{2} e (s \cdot s) (n t) (e \cdot (3 i t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Etapa 11.5.2.2.2

Multiplique $s$ por $s$ .

$D o^{2} e s^{2} (n t) (e \cdot (3 i t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Etapa 11.5.2.3

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 11.5.2.3.1

Mova $t$ .

$D o^{2} e s^{2} (n (t \cdot t)) (e \cdot (3 i)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Etapa 11.5.2.3.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$D o^{2} e s^{2} (n t^{2}) (e \cdot (3 i)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Etapa 11.5.2.4

Mova $3$ para a esquerda de $e$ .

$D o^{2} e s^{2} n t^{2} (3 \cdot e i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Etapa 11.5.2.5

Multiplique $D o^{2} e s^{2} n t^{2} (3 e i)$ .

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Etapa 11.5.2.5.1

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 (e^{1} e) i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Etapa 11.5.2.5.2

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 (e^{1} e^{1}) i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Etapa 11.5.2.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 e^{1 + 1} i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Etapa 11.5.2.5.4

Some $1$ e $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 e^{2} i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Etapa 11.5.2.6

Mova $3$ para a esquerda de $D o^{2} s^{2} n t^{2}$ .

$3 \cdot (D o^{2} s^{2} n t^{2}) e^{2} i \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Etapa 11.5.2.7

Multiplique $3$ por $3$ .

$9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i + b = \sqrt{3}$

Etapa 11.5.3

Subtraia $9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$ dos dois lados da equação.

$b = \sqrt{3} - 9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$

Etapa 12

Agora que os valores de $m$ (inclinação) e $b$ (intersecção com o eixo y) são conhecidos, substitua-os em $y = m x + b$ para encontrar a equação da reta.

$y = 3 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i x + \sqrt{3} - 9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$

Etapa 13