Cálculo Exemplos

$f (x) = 7 x + 3$ ; $(1, 10)$

Etapa 1

Verifique se o ponto determinado está no gráfico da função fornecida.

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Etapa 1.1

Avalie $f (x) = 7 x + 3$ em $x = 1$ .

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Etapa 1.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 7 (1) + 3$

Etapa 1.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 1.1.2.1

Multiplique $7$ por $1$ .

$f (1) = 7 + 3$

Etapa 1.1.2.2

Some $7$ e $3$ .

$f (1) = 10$

Etapa 1.1.2.3

A resposta final é $10$ .

$10$

Etapa 1.2

Como $10 = 10$ , o ponto está no gráfico.

O ponto está no gráfico

Etapa 2

A inclinação da reta tangente é a derivada da expressão.

$m$ $=$ A derivada de $f (x) = 7 x + 3$

Etapa 3

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 4

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 4.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = 7 (x + h) + 3$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 7 x + 7 h + 3$

Etapa 4.1.2.2

A resposta final é $7 x + 7 h + 3$ .

$7 x + 7 h + 3$

Etapa 4.2

Reordene $7 x$ e $7 h$ .

$7 h + 7 x + 3$

Etapa 4.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = 7 h + 7 x + 3$

$f (x) = 7 x + 3$

$f (x + h) = 7 h + 7 x + 3$

$f (x) = 7 x + 3$

Etapa 5

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - (7 x + 3)}{h}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - (7 x) - 1 \cdot 3}{h}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - 7 x - 1 \cdot 3}{h}$

Etapa 6.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - 7 x - 3}{h}$

Etapa 6.1.4

Subtraia $7 x$ de $7 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 0 + 3 - 3}{h}$

Etapa 6.1.5

Some $7 h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 3 - 3}{h}$

Etapa 6.1.6

Subtraia $3$ de $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 0}{h}$

Etapa 6.1.7

Some $7 h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h}{h}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h}{h}$

Etapa 6.2.2

Divida $7$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 7$

Etapa 7

Avalie o limite de $7$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$7$

Etapa 8

A inclinação é , e o ponto é $(1, 10)$ .

$m = 7, (1, 10)$

Etapa 9

Encontre o valor de $b$ usando a fórmula para a equação de uma linha.

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Etapa 9.1

Use a fórmula para a equação de uma reta para encontrar $b$ .

$y = m x + b$

Etapa 9.2

Substitua o valor de $m$ na equação.

$y = (7) \cdot x + b$

Etapa 9.3

Substitua o valor de $x$ na equação.

$y = (7) \cdot (1) + b$

Etapa 9.4

Substitua o valor de $y$ na equação.

$10 = (7) \cdot (1) + b$

Etapa 9.5

Encontre o valor de $b$ .

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Etapa 9.5.1

Reescreva a equação como $(7) \cdot (1) + b = 10$ .

$(7) \cdot (1) + b = 10$

Etapa 9.5.2

Multiplique $7$ por $1$ .

$7 + b = 10$

Etapa 9.5.3

Mova todos os termos que não contêm $b$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.5.3.1

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$b = 10 - 7$

Etapa 9.5.3.2

Subtraia $7$ de $10$ .

$b = 3$

Etapa 10

Agora que os valores de $m$ (inclinação) e $b$ (intersecção com o eixo y) são conhecidos, substitua-os em $y = m x + b$ para encontrar a equação da reta.

$y = 7 x + 3$

Etapa 11