Cálculo Exemplos

$\frac{\sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5} - 4}{x - 1}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{\sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5} - 4}{x - 1}$ é indefinida.

$x = 1$

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5} - 4}{x - 1}$ para encontrar a assíntota horizontal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}$

Etapa 3.2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Divida $9$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 3.2.2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.2.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 3.2.2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 3.2.2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 3.2.2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 3.2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 3.2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 3.2.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 3.2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 3.2.7

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 3.2.8

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 3.3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 3.5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 3.6

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 3.7

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 3.8

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 3.8.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 3.9

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Etapa 3.10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Etapa 3.10.1.2

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0 + 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Etapa 3.10.1.3

Some $9 + 0$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Etapa 3.10.1.4

Some $9$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{9} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Etapa 3.10.1.5

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Etapa 3.10.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{3 - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Etapa 3.10.1.7

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$\frac{3 + 0}{1 - 0}$

Etapa 3.10.1.8

Some $3$ e $0$ .

$\frac{3}{1 - 0}$

Etapa 3.10.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{3}{1 + 0}$

Etapa 3.10.2.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{3}{1}$

Etapa 3.10.3

Divida $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 4

Avalie $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5} - 4}{x - 1}$ para encontrar a assíntota horizontal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}$

Etapa 4.2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $9$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 4.2.2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.2.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 4.2.2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 4.2.2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 4.2.2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 4.2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 4.2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 4.2.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 4.2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 9 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 4.2.7

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{9 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 4.2.8

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 4.3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 4.4

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 4.5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 4.6

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 4.7

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Etapa 4.8

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 4.8.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 4.9

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Etapa 4.10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Etapa 4.10.1.2

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 0 + 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Etapa 4.10.1.3

Some $9 + 0$ e $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Etapa 4.10.1.4

Some $9$ e $0$ .

$\frac{- \sqrt{9} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Etapa 4.10.1.5

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{- \sqrt{3^{2}} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Etapa 4.10.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{- 1 \cdot 3 - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Etapa 4.10.1.7

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Etapa 4.10.1.8

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{1 - 0}$

Etapa 4.10.1.9

Some $- 3$ e $0$ .

$\frac{- 3}{1 - 0}$

Etapa 4.10.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{- 3}{1 + 0}$

Etapa 4.10.2.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{- 3}{1}$

Etapa 4.10.3

Divida $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Etapa 5

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 3, - 3$

Etapa 6

Use a divisão polinomial para encontrar as assíntotas oblíquas. Como essa expressão contém um radical, não é possível realizar a divisão polinomial.

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Assíntotas horizontais: $y = 3, - 3$

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 8