Cálculo Exemplos

$f (x) = 7 \sin (x)$ , $[0, 2 π]$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $f (x) = 7 \sin (x)$ é contínua.

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Etapa 2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 2 π]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 3.1.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 \sin (x)$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f' (x) = 7 \cos (x)$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $7 \cos (x)$ .

$7 \cos (x)$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em $(0, 2 π)$ .

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Etapa 4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em $(0, 2 π)$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em $(0, 2 π)$ , porque a derivada é contínua em $(0, 2 π)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[0, 2 π]$ e diferenciável em $(0, 2 π)$ .

$f (x)$ é contínuo em $[0, 2 π]$ e diferenciável em $(0, 2 π)$ .

Etapa 7

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[0, 2 π]$ .

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 7 \sin (0)$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (0) = 7 \cdot 0$

Etapa 7.2.2

Multiplique $7$ por $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 8

Resolva $7 \cos (x) = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para $x$ . $7 \cos (x) = \frac{- (f (2 π) + f (0))}{- (2 π + 0)}$ .

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Etapa 8.1

Simplifique.

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Etapa 8.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$7 \cos (x) = \frac{0 + 0}{2 π - (0)}$

Etapa 8.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$7 \cos (x) = \frac{0 + 0}{2 π + 0}$

Etapa 8.1.3

Reduza a expressão $\frac{0 + 0}{2 π + 0}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 8.1.3.1

Fatore $2$ de $0$ .

$7 \cos (x) = \frac{2 (0) + 0}{2 π + 0}$

Etapa 8.1.3.2

Fatore $2$ de $0$ .

$7 \cos (x) = \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{2 π + 0}$

Etapa 8.1.3.3

Fatore $2$ de $2 \cdot 0 + 2 \cdot 0$ .

$7 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 π + 0}$

Etapa 8.1.3.4

Fatore $2$ de $2 π$ .

$7 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π) + 0}$

Etapa 8.1.3.5

Fatore $2$ de $0$ .

$7 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π) + 2 (0)}$

Etapa 8.1.3.6

Fatore $2$ de $2 (π) + 2 (0)$ .

$7 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π + 0)}$

Etapa 8.1.3.7

Cancele o fator comum.

$7 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π + 0)}$

Etapa 8.1.3.8

Reescreva a expressão.

$7 \cos (x) = \frac{0 + 0}{π + 0}$

Etapa 8.1.4

Some $0$ e $0$ .

$7 \cos (x) = \frac{0}{π + 0}$

Etapa 8.1.5

Some $π$ e $0$ .

$7 \cos (x) = \frac{0}{π}$

Etapa 8.1.6

Divida $0$ por $π$ .

$7 \cos (x) = 0$

Etapa 8.2

Divida cada termo em $7 \cos (x) = 0$ por $7$ e simplifique.

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Etapa 8.2.1

Divida cada termo em $7 \cos (x) = 0$ por $7$ .

$\frac{7 \cos (x)}{7} = \frac{0}{7}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 \cos (x)}{7} = \frac{0}{7}$

Etapa 8.2.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{7}$

Etapa 8.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.3.1

Divida $0$ por $7$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 8.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 8.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.4.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 8.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 8.6

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 8.6.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 8.6.2

Combine frações.

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Etapa 8.6.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 8.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 8.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.6.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 8.6.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 8.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 8.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 8.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 8.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 8.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8.9

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Existe uma reta tangente em $x = \frac{π}{2} + π n$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = 0$ e $b = 2 π$

Etapa 10