Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{2} - 5 x + 1$ , $[0, 2]$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $f (x) = 2 x^{2} - 5 x + 1$ é contínua.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 2]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 5 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$4 x - 5 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x - 5 + 0$

Etapa 3.1.4.2

Some $4 x - 5$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x - 5$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x - 5$ .

$4 x - 5$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em $(0, 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em $(0, 2)$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em $(0, 2)$ , porque a derivada é contínua em $(0, 2)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[0, 2]$ e diferenciável em $(0, 2)$ .

$f (x)$ é contínuo em $[0, 2]$ e diferenciável em $(0, 2)$ .

Etapa 7

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[0, 2]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 2 {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 1$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0 + 1$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 1$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Etapa 7.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = 1$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 8

Avalie $f (b)$ a partir do intervalo $[0, 2]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - 5 \cdot 2 + 1$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - 5 \cdot 2 + 1$

Etapa 8.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (2) = 2^{1 + 2} - 5 \cdot 2 + 1$

Etapa 8.2.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f (2) = 2^{3} - 5 \cdot 2 + 1$

Etapa 8.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (2) = 8 - 5 \cdot 2 + 1$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$f (2) = 8 - 10 + 1$

Etapa 8.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Subtraia $10$ de $8$ .

$f (2) = - 2 + 1$

Etapa 8.2.2.2

Some $- 2$ e $1$ .

$f (2) = - 1$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 9

Resolva $4 x - 5 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para $x$ . $4 x - 5 = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique $\frac{(- 1) - (1)}{(2) - (0)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 x - 5 = \frac{- 1 - 1}{2 - (0)}$

Etapa 9.1.1.2

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$4 x - 5 = \frac{- 2}{2 - (0)}$

Etapa 9.1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$4 x - 5 = \frac{- 2}{2 + 0}$

Etapa 9.1.2.2

Some $2$ e $0$ .

$4 x - 5 = \frac{- 2}{2}$

Etapa 9.1.3

Divida $- 2$ por $2$ .

$4 x - 5 = - 1$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$4 x = - 1 + 5$

Etapa 9.2.2

Some $- 1$ e $5$ .

$4 x = 4$

Etapa 9.3

Divida cada termo em $4 x = 4$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Divida cada termo em $4 x = 4$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Etapa 9.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Etapa 9.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{4}$

Etapa 9.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Divida $4$ por $4$ .

$x = 1$

Etapa 10

Existe uma reta tangente em $x = 1$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = 0$ e $b = 2$

Etapa 11