Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x + 2}$ , $[- 1, 4]$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $f (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x + 2}$ é contínua.

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Etapa 2.1

Para saber se a função é contínua em $[- 1, 4]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x + 2}$ .

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Etapa 2.1.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} - 3 x - 4}{x + 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 2 = 0$

Etapa 2.1.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq - 2}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq - 2}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[- 1, 4]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 3.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 3 x - 4$ e $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4] - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2

Diferencie.

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Etapa 3.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.5

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.6

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 3 + 0) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.7

Some $2 x - 3$ e $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.10

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1.2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.11.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.3

Simplifique.

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Etapa 3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x + 2) (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.2.1.1

Expanda $(x + 2) (2 x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1.3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x - 3) + 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 + 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.3.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1.3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.3.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.3.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.3.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.3.2.1.2.1.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 \cdot x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.3.2.1.2.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 4 x + 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.3.2.1.2.1.5

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 4 x - 6 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.3.2.1.2.2

Some $- 3 x$ e $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 6 - x^{2} - (- 3 x) - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.3.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 6 - x^{2} + 3 x - - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.3.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 6 - x^{2} + 3 x + 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.3.2.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + x - 6 + 3 x + 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.3.2.3

Some $x$ e $3 x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 6 + 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.1.3.2.4

Some $- 6$ e $4$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em $(- 1, 4)$ .

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Etapa 4.1

Para saber se a função é contínua em $(- 1, 4)$ ou não, encontre o domínio de $f' (x) = \frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

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Etapa 4.1.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Etapa 4.1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 4.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq - 2}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq - 2}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em $(- 1, 4)$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em $(- 1, 4)$ , porque a derivada é contínua em $(- 1, 4)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[- 1, 4]$ e diferenciável em $(- 1, 4)$ .

$f (x)$ é contínuo em $[- 1, 4]$ e diferenciável em $(- 1, 4)$ .

Etapa 7

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[- 1, 4]$ .

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 - 4}{(- 1) + 2}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 - 3 \cdot - 1 - 4}{- 1 + 2}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 3 - 4}{- 1 + 2}$

Etapa 7.2.1.3

Some $1$ e $3$ .

$f (- 1) = \frac{4 - 4}{- 1 + 2}$

Etapa 7.2.1.4

Subtraia $4$ de $4$ .

$f (- 1) = \frac{0}{- 1 + 2}$

Etapa 7.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.2.2.1

Some $- 1$ e $2$ .

$f (- 1) = \frac{0}{1}$

Etapa 7.2.2.2

Divida $0$ por $1$ .

$f (- 1) = 0$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 8

Resolva $\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para $x$ . $\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (4) + f (- 1))}{- (4 - 1)}$ .

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Etapa 8.1

Fatore cada termo.

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Etapa 8.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{0 + 0}{(4) - (- 1)}$

Etapa 8.1.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{0}{(4) - (- 1)}$

Etapa 8.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{0}{4 + 1}$

Etapa 8.1.4

Some $4$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{0}{5}$

Etapa 8.1.5

Divida $0$ por $5$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = 0$

Etapa 8.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 8.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

${(x + 2)}^{2}, 1$

Etapa 8.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

${(x + 2)}^{2}$

Etapa 8.3

Multiplique cada termo em $\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = 0$ por ${(x + 2)}^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 8.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} = 0$ por ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = 0 {(x + 2)}^{2}$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.3.2.1

Cancele o fator comum de ${(x + 2)}^{2}$ .

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Etapa 8.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} + 4 x - 2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = 0 {(x + 2)}^{2}$

Etapa 8.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} + 4 x - 2 = 0 {(x + 2)}^{2}$

Etapa 8.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.3.1

Multiplique $0$ por ${(x + 2)}^{2}$ .

$x^{2} + 4 x - 2 = 0$

Etapa 8.4

Resolva a equação.

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Etapa 8.4.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 8.4.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 4$ e $c = - 2$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.3

Simplifique.

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Etapa 8.4.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.4.3.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.3.1.3

Some $16$ e $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.3.1.4

Reescreva $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.3.1.4.1

Fatore $4$ de $24$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Etapa 8.4.3.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{6}$

Etapa 8.4.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.4.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.4.1.3

Some $16$ e $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.4.1.4

Reescreva $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.4.1.4.1

Fatore $4$ de $24$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Etapa 8.4.4.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{6}$

Etapa 8.4.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{6}$

Etapa 8.4.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.5.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.5.1.3

Some $16$ e $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.5.1.4

Reescreva $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.5.1.4.1

Fatore $4$ de $24$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Etapa 8.4.5.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{6}$

Etapa 8.4.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{6}$

Etapa 8.4.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 2 + \sqrt{6}, - 2 - \sqrt{6}$

Etapa 9

Existe uma reta tangente em $x = - 2 + \sqrt{6}$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = - 1$ e $b = 4$

Etapa 10

Existe uma reta tangente em $x = - 2 - \sqrt{6}$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = - 1$ e $b = 4$

Etapa 11