Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{5}{6 x - 4}$ , $[2, 5]$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\frac{5}{6 x - 4} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $\frac{5}{6 x - 4} = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Defina o numerador como igual a zero.

$5 = 0$

Etapa 1.2.2

Como $5 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

Fatore $2$ de $6 x - 4$ .

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Etapa 2.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$y = \frac{5}{2 (3 x) - 4}$

Etapa 2.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$y = \frac{5}{2 (3 x) + 2 (- 2)}$

Etapa 2.3

Fatore $2$ de $2 (3 x) + 2 (- 2)$ .

$y = \frac{5}{2 (3 x - 2)}$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{2}^{5} \frac{5}{2 (3 x - 2)} d x - \int_{2}^{5} 0 d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $2$ e $5$ .

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Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{2}^{5} \frac{5}{2 (3 x - 2)} - (0) d x$

Etapa 4.2

Subtraia $0$ de $\frac{5}{2 (3 x - 2)}$ .

$\int_{2}^{5} \frac{5}{2 (3 x - 2)} d x$

Etapa 4.3

Como $\frac{5}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{5}{2}$ para fora da integral.

$\frac{5}{2} \int_{2}^{5} \frac{1}{3 x - 2} d x$

Etapa 4.4

Deixe $u = 3 x - 2$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.4.1

Deixe $u = 3 x - 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.4.1.1

Diferencie $3 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Etapa 4.4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 4.4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 4.4.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 4.4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 4.4.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 4.4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.4.1.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 4.4.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 4.4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 x - 2$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 2 - 2$

Etapa 4.4.3

Simplifique.

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Etapa 4.4.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$u_{lower} = 6 - 2$

Etapa 4.4.3.2

Subtraia $2$ de $6$ .

$u_{lower} = 4$

Etapa 4.4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 x - 2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 5 - 2$

Etapa 4.4.5

Simplifique.

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Etapa 4.4.5.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$u_{upper} = 15 - 2$

Etapa 4.4.5.2

Subtraia $2$ de $15$ .

$u_{upper} = 13$

Etapa 4.4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 13$

Etapa 4.4.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{5}{2} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{2} \int_{4}^{13} \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Etapa 4.5.2

Mova $3$ para a esquerda de $u$ .

$\frac{5}{2} \int_{4}^{13} \frac{1}{3 u} d u$

Etapa 4.6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{5}{2} (\frac{1}{3} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} d u)$

Etapa 4.7

Simplifique.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 2} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.7.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{5}{6} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{5}{6} \ln (| u |)]_{4}^{13}$

Etapa 4.9

Avalie $\ln (| u |)$ em $13$ e em $4$ .

$\frac{5}{6} (\ln (| 13 |) - \ln (| 4 |))$

Etapa 4.10

Simplifique.

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Etapa 4.10.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{5}{6} \ln (\frac{| 13 |}{| 4 |})$

Etapa 4.10.2

Combine $\frac{5}{6}$ e $\ln (\frac{| 13 |}{| 4 |})$ .

$\frac{5 \ln (\frac{| 13 |}{| 4 |})}{6}$

Etapa 4.11

Simplifique.

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Etapa 4.11.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $13$ é $13$ .

$\frac{5 \ln (\frac{13}{| 4 |})}{6}$

Etapa 4.11.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$\frac{5 \ln (\frac{13}{4})}{6}$

Etapa 5

Some as áreas $\frac{5 \ln (\frac{13}{4})}{6}$ .

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Etapa 5.1

Simplifique $5 \ln (\frac{13}{4})$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln ({(\frac{13}{4})}^{5})}{6}$

Etapa 5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{13}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{13^{5}}{4^{5}})}{6}$

Etapa 5.2.2

Eleve $13$ à potência de $5$ .

$\frac{\ln (\frac{371293}{4^{5}})}{6}$

Etapa 5.2.3

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$\frac{\ln (\frac{371293}{1024})}{6}$

Etapa 5.3

Reescreva $\frac{\ln (\frac{371293}{1024})}{6}$ como $\frac{1}{6} \ln (\frac{371293}{1024})$ .

$\frac{1}{6} \ln (\frac{371293}{1024})$

Etapa 5.4

Simplifique $\frac{1}{6} \ln (\frac{371293}{1024})$ movendo $\frac{1}{6}$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({(\frac{371293}{1024})}^{\frac{1}{6}})$

Etapa 5.5

Aplique a regra do produto a $\frac{371293}{1024}$ .

$\ln (\frac{371293^{\frac{1}{6}}}{1024^{\frac{1}{6}}})$

Etapa 6