Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{7 x - 1}$ , $[4, 5]$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\frac{1}{7 x - 1} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $\frac{1}{7 x - 1} = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 1.2.2

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{4}^{5} \frac{1}{7 x - 1} d x - \int_{4}^{5} 0 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $4$ e $5$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{4}^{5} \frac{1}{7 x - 1} - (0) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $0$ de $\frac{1}{7 x - 1}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{1}{7 x - 1} d x$

Etapa 3.3

Deixe $u = 7 x - 1$ . Depois, $d u = 7 d x$ , então, $\frac{1}{7} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.3.1

Deixe $u = 7 x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.3.1.1

Diferencie $7 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [7 x - 1]$

Etapa 3.3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Etapa 3.3.1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.3.1.3.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.3.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$7 + 0$

Etapa 3.3.1.4.2

Some $7$ e $0$ .

$7$

Etapa 3.3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 7 x - 1$ .

$u_{lower} = 7 \cdot 4 - 1$

Etapa 3.3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Multiplique $7$ por $4$ .

$u_{lower} = 28 - 1$

Etapa 3.3.3.2

Subtraia $1$ de $28$ .

$u_{lower} = 27$

Etapa 3.3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 7 x - 1$ .

$u_{upper} = 7 \cdot 5 - 1$

Etapa 3.3.5

Simplifique.

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Etapa 3.3.5.1

Multiplique $7$ por $5$ .

$u_{upper} = 35 - 1$

Etapa 3.3.5.2

Subtraia $1$ de $35$ .

$u_{upper} = 34$

Etapa 3.3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 27$

$u_{upper} = 34$

Etapa 3.3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{27}^{34} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{7} d u$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{7}$ .

$\int_{27}^{34} \frac{1}{u \cdot 7} d u$

Etapa 3.4.2

Mova $7$ para a esquerda de $u$ .

$\int_{27}^{34} \frac{1}{7 u} d u$

Etapa 3.5

Como $\frac{1}{7}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{7}$ para fora da integral.

$\frac{1}{7} \int_{27}^{34} \frac{1}{u} d u$

Etapa 3.6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{7} \ln (| u |)]_{27}^{34}$

Etapa 3.7

Avalie $\ln (| u |)$ em $34$ e em $27$ .

$\frac{1}{7} (\ln (| 34 |) - \ln (| 27 |))$

Etapa 3.8

Simplifique.

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Etapa 3.8.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{7} \ln (\frac{| 34 |}{| 27 |})$

Etapa 3.8.2

Combine $\frac{1}{7}$ e $\ln (\frac{| 34 |}{| 27 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 34 |}{| 27 |})}{7}$

Etapa 3.9

Simplifique.

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Etapa 3.9.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $34$ é $34$ .

$\frac{\ln (\frac{34}{| 27 |})}{7}$

Etapa 3.9.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $27$ é $27$ .

$\frac{\ln (\frac{34}{27})}{7}$

Etapa 4

Some as áreas $\frac{\ln (\frac{34}{27})}{7}$ .

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Etapa 4.1

Reescreva $\frac{\ln (\frac{34}{27})}{7}$ como $\frac{1}{7} \ln (\frac{34}{27})$ .

$\frac{1}{7} \ln (\frac{34}{27})$

Etapa 4.2

Simplifique $\frac{1}{7} \ln (\frac{34}{27})$ movendo $\frac{1}{7}$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({(\frac{34}{27})}^{\frac{1}{7}})$

Etapa 4.3

Aplique a regra do produto a $\frac{34}{27}$ .

$\ln (\frac{34^{\frac{1}{7}}}{27^{\frac{1}{7}}})$

Etapa 5