Cálculo Exemplos

$48 (x^{2} + y^{2}) = 625 x y^{2}$ ; $(3, 4)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (48 (x^{2} + y^{2})) = \frac{d}{d x} (625 x y^{2})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Como $48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $48 (x^{2} + y^{2})$ em relação a $x$ é $48 \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$48 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$48 (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$48 (2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$48 (2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$48 (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$48 (2 x + 2 y y')$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$48 (2 x) + 48 (2 y y')$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Multiplique $2$ por $48$ .

$96 x + 48 (2 y y')$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $2$ por $48$ .

$96 x + 96 y y'$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$96 y y' + 96 x$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $625$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $625 x y^{2}$ em relação a $x$ é $625 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$625 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$625 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$625 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$625 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$625 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$625 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$625 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$625 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Etapa 3.7

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$625 (2 x y y' + y^{2})$

Etapa 3.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$625 (2 x y y') + 625 y^{2}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $2$ por $625$ .

$1250 x y y' + 625 y^{2}$

Etapa 3.8.3

Reordene os termos.

$625 y^{2} + 1250 x y y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$96 y y' + 96 x = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Subtraia $1250 x y y'$ dos dois lados da equação.

$96 y y' + 96 x - 1250 x y y' = 625 y^{2}$

Etapa 5.2

Subtraia $96 x$ dos dois lados da equação.

$96 y y' - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 96 x$

Etapa 5.3

Fatore $2 y y'$ de $96 y y' - 1250 x y y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Fatore $2 y y'$ de $96 y y'$ .

$2 y y' \cdot 48 - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 96 x$

Etapa 5.3.2

Fatore $2 y y'$ de $- 1250 x y y'$ .

$2 y y' \cdot 48 + 2 y y' (- 625 x) = 625 y^{2} - 96 x$

Etapa 5.3.3

Fatore $2 y y'$ de $2 y y' \cdot 48 + 2 y y' (- 625 x)$ .

$2 y y' (48 - 625 x) = 625 y^{2} - 96 x$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $2 y y' (48 - 625 x) = 625 y^{2} - 96 x$ por $2 y (48 - 625 x)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $2 y y' (48 - 625 x) = 625 y^{2} - 96 x$ por $2 y (48 - 625 x)$ .

$\frac{2 y y' (48 - 625 x)}{2 y (48 - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y y' (48 - 625 x)}{2 y (48 - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y' (48 - 625 x)}{y (48 - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y' (48 - 625 x)}{y (48 - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Etapa 5.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (48 - 625 x)}{48 - 625 x} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Etapa 5.4.2.3

Cancele o fator comum de $48 - 625 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (48 - 625 x)}{48 - 625 x} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Etapa 5.4.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1.1

Fatore $y$ de $625 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (625 y)}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Etapa 5.4.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1.2.1

Fatore $y$ de $2 y (48 - 625 x)$ .

$y' = \frac{y (625 y)}{y (2 (48 - 625 x))} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Etapa 5.4.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y (625 y)}{y (2 (48 - 625 x))} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Etapa 5.4.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Etapa 5.4.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 96$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 96 x$ .

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{2 (- 48 x)}{2 y (48 - 625 x)}$

Etapa 5.4.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $2 y (48 - 625 x)$ .

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{2 (- 48 x)}{2 (y (48 - 625 x))}$

Etapa 5.4.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{2 (- 48 x)}{2 (y (48 - 625 x))}$

Etapa 5.4.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{- 48 x}{y (48 - 625 x)}$

Etapa 5.4.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} - \frac{48 x}{y (48 - 625 x)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} - \frac{48 x}{y (48 - 625 x)}$

Etapa 7

Substitua $x$ por $3$ e $y$ por $4$ na expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{625 (4)}{2 (48 - 625 \cdot 3)} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Etapa 8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Multiplique $625$ por $4$ .

$\frac{2500}{2 (48 - 625 \cdot 3)} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Etapa 8.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $2500$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Fatore $2$ de $2500$ .

$\frac{2 \cdot 1250}{2 (48 - 625 \cdot 3)} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Etapa 8.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1250}{2 (48 - 625 \cdot 3)} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Etapa 8.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1250}{48 - 625 \cdot 3} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Multiplique $- 625$ por $3$ .

$\frac{1250}{48 - 1875} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia $1875$ de $48$ .

$\frac{1250}{- 1827} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Etapa 8.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Etapa 8.2.4

Cancele o fator comum de $48$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.4.1

Fatore $4$ de $48 (3)$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{4 (12 \cdot 3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Etapa 8.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.4.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{4 (12 \cdot 3)}{4 (48 - 625 \cdot 3)}$

Etapa 8.2.4.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{48 - 625 \cdot 3}$

Etapa 8.2.5

Cancele o fator comum de $12$ e $48 - 625 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.5.1

Reescreva $48$ como $- 1 (- 48)$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{- 1 (- 48) - 625 \cdot 3}$

Etapa 8.2.5.2

Fatore $- 1$ de $- 625 \cdot 3$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{- 1 (- 48) - (625 \cdot 3)}$

Etapa 8.2.5.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 48) - (625 \cdot 3)$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{- 1 (- 48 + 625 \cdot 3)}$

Etapa 8.2.5.4

Reordene os termos.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{- 1 (3 \cdot 625 - 48)}$

Etapa 8.2.5.5

Fatore $3$ de $12 \cdot 3$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 (4 \cdot 3)}{- 1 (3 \cdot 625 - 48)}$

Etapa 8.2.5.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.5.6.1

Fatore $3$ de $- 1 (3 \cdot 625 - 48)$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 (4 \cdot 3)}{3 (- 1 (625 - 16))}$

Etapa 8.2.5.6.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 (4 \cdot 3)}{3 (- 1 (625 - 16))}$

Etapa 8.2.5.6.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{4 \cdot 3}{- 1 (625 - 16)}$

Etapa 8.2.6

Multiplique $4$ por $3$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12}{- 1 (625 - 16)}$

Etapa 8.2.7

Subtraia $16$ de $625$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12}{- 1 \cdot 609}$

Etapa 8.2.8

Multiplique $- 1$ por $609$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12}{- 609}$

Etapa 8.2.9

Cancele o fator comum de $12$ e $- 609$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.9.1

Fatore $3$ de $12$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 (4)}{- 609}$

Etapa 8.2.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.9.2.1

Fatore $3$ de $- 609$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot - 203}$

Etapa 8.2.9.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot - 203}$

Etapa 8.2.9.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{4}{- 203}$

Etapa 8.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1250}{1827} - - \frac{4}{203}$

Etapa 8.2.11

Multiplique $- - \frac{4}{203}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.11.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1250}{1827} + 1 (\frac{4}{203})$

Etapa 8.2.11.2

Multiplique $\frac{4}{203}$ por $1$ .

$- \frac{1250}{1827} + \frac{4}{203}$

Etapa 8.3

Para escrever $\frac{4}{203}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1250}{1827} + \frac{4}{203} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 8.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $1827$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Multiplique $\frac{4}{203}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1250}{1827} + \frac{4 \cdot 9}{203 \cdot 9}$

Etapa 8.4.2

Multiplique $203$ por $9$ .

$- \frac{1250}{1827} + \frac{4 \cdot 9}{1827}$

Etapa 8.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1250 + 4 \cdot 9}{1827}$

Etapa 8.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1

Multiplique $4$ por $9$ .

$\frac{- 1250 + 36}{1827}$

Etapa 8.6.2

Some $- 1250$ e $36$ .

$\frac{- 1214}{1827}$

Etapa 8.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1214}{1827}$