Cálculo Exemplos

$y^{4} - 4 y^{2} = x^{4} - 9 x^{2}$ , $(3, 2)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{4} - 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{4} - 9 x^{2})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{4} - 4 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 y^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 y^{3} y' - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$4 y^{3} y' - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 y^{3} y' - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$4 y^{3} y' - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 y^{3} y' - 4 (2 y y')$

Etapa 2.3.4

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$4 y^{3} y' - 8 y y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 9 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 9 (2 x)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$4 x^{3} - 18 x$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$4 y^{3} y' - 8 y y' = 4 x^{3} - 18 x$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Fatore $4 y y'$ de $4 y^{3} y' - 8 y y'$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $4 y y'$ de $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' y^{2} - 8 y y' = 4 x^{3} - 18 x$

Etapa 5.1.2

Fatore $4 y y'$ de $- 8 y y'$ .

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2 = 4 x^{3} - 18 x$

Etapa 5.1.3

Fatore $4 y y'$ de $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2$ .

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$ por $4 y (y^{2} - 2)$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$ por $4 y (y^{2} - 2)$ .

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 5.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 5.2.2.3

Cancele o fator comum de $y^{2} - 2$ .

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Etapa 5.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 5.2.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 18$ e $4$ .

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 18 x$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{4 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $4 y (y^{2} - 2)$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Etapa 5.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Etapa 5.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 5.2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Etapa 7

Substitua $x$ por $3$ e $y$ por $2$ na expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(3)}^{3}}{(2) ({(2)}^{2} - 2)} - \frac{9 (3)}{2 (2) ({(2)}^{2} - 2)}$

Etapa 8

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{27}{2 (2^{2} - 2)} - \frac{9 (3)}{2 (2) ({(2)}^{2} - 2)}$

Etapa 8.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.1.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{27}{2 (4 - 2)} - \frac{9 (3)}{2 (2) ({(2)}^{2} - 2)}$

Etapa 8.1.2.2

Subtraia $2$ de $4$ .

$\frac{27}{2 \cdot 2} - \frac{9 (3)}{2 (2) ({(2)}^{2} - 2)}$

Etapa 8.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{27}{4} - \frac{9 (3)}{2 (2) ({(2)}^{2} - 2)}$

Etapa 8.1.4

Multiplique $9$ por $3$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{2 (2) (2^{2} - 2)}$

Etapa 8.1.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4 (2^{2} - 2)}$

Etapa 8.1.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.1.6.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4 (4 - 2)}$

Etapa 8.1.6.2

Subtraia $2$ de $4$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4 \cdot 2}$

Etapa 8.1.7

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{8}$

Etapa 8.2

Para escrever $\frac{27}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{8}$

Etapa 8.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.3.1

Multiplique $\frac{27}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{27}{8}$

Etapa 8.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{27 \cdot 2}{8} - \frac{27}{8}$

Etapa 8.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{27 \cdot 2 - 27}{8}$

Etapa 8.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.5.1

Multiplique $27$ por $2$ .

$\frac{54 - 27}{8}$

Etapa 8.5.2

Subtraia $27$ de $54$ .

$\frac{27}{8}$