Cálculo Exemplos

$y = \frac{x}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 9)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{({(x - 9)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x - 9)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique ${(x - 9)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 9$ .

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Etapa 1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 9$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 9$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 (x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.4

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.4.2

Fatore $x - 9$ de ${(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1

Fatore $x - 9$ de ${(x - 9)}^{2}$ .

$\frac{(x - 9) (x - 9) - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.4.2.2

Fatore $x - 9$ de $- 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

$\frac{(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.4.2.3

Fatore $x - 9$ de $(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))$ .

$\frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.5.1

Fatore $x - 9$ de ${(x - 9)}^{4}$ .

$\frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x - 9 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.8

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x - 9 - 2 x (1 + 0)}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.9

Simplifique somando os termos.

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Etapa 1.1.9.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x - 9 - 2 x \cdot 1}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.9.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{x - 9 - 2 x}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.9.3

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.10

Simplifique.

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Etapa 1.1.10.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.10.2

Reescreva $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$\frac{- (x) - 1 (9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.10.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{- (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.10.4

Reescreva $- (x + 9)$ como $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{- 1 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.10.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x + 9 = 0$

Etapa 2.3

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x = - 9$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 9)}^{3} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Defina $x - 9$ como igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Etapa 3.2.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x = 9$

Etapa 4

Avalie $\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - 9$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- 9$ por $x$ .

$\frac{- 9}{{((- 9) - 9)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Subtraia $9$ de $- 9$ .

$\frac{- 9}{{(- 18)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $- 18$ à potência de $2$ .

$\frac{- 9}{324}$

Etapa 4.1.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 9$ e $324$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1.1

Fatore $9$ de $- 9$ .

$\frac{9 (- 1)}{324}$

Etapa 4.1.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1.2.1

Fatore $9$ de $324$ .

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 36}$

Etapa 4.1.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 36}$

Etapa 4.1.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{36}$

Etapa 4.1.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{36}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 9$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $9$ por $x$ .

$\frac{9}{{((9) - 9)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{9}{0^{2}}$

Etapa 4.2.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{9}{0}$

Etapa 4.2.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(- 9, - \frac{1}{36})$

Etapa 5