Cálculo Exemplos

$g (x) = - 5 \sec (x)$ , $- \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 \sec (x)$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 1.1.1.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = - 5 \sec (x) \tan (x)$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $g (x)$ com relação a $x$ é $- 5 \sec (x) \tan (x)$ .

$- 5 \sec (x) \tan (x)$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$

Etapa 1.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Etapa 1.2.3

Defina $\sec (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.3.1

Defina $\sec (x)$ como igual a $0$ .

$\sec (x) = 0$

Etapa 1.2.3.2

O intervalo da secante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $0$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 1.2.4

Defina $\tan (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $\tan (x)$ como igual a $0$ .

$\tan (x) = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $\tan (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.4.2.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (0)$

Etapa 1.2.4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.2.2.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.4.2.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + 0$

Etapa 1.2.4.2.4

Some $π$ e $0$ .

$x = π$

Etapa 1.2.4.2.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 1.2.4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 1.2.4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 1.2.4.2.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 1.2.4.2.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ verdadeiro.

$x = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.6

Consolide as respostas.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

Defina o argumento em $\sec (x)$ como igual a $\frac{π}{2} + π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3.2

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.4

Avalie $- 5 \sec (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$- 5 \sec (0)$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$- 5 \cdot 1$

Etapa 1.4.1.2.2

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$- 5$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = π$ .

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Etapa 1.4.2.1

Substitua $π$ por $x$ .

$- 5 \sec (π)$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.2.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a secante é negativa no segundo quadrante.

$- 5 (- \sec (0))$

Etapa 1.4.2.2.2

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$- 5 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 1.4.2.2.3

Multiplique $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 1.4.2.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 5 \cdot - 1$

Etapa 1.4.2.2.3.2

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$5$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(0 + 2 π n, - 5), (π + 2 π n, 5)$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(0, - 5), (π, 5)$

Etapa 3

Use o teste da segunda derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.

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Etapa 3.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 3.1.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 \sec (x) \tan (x)$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$- 5 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Etapa 3.1.3

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$- 5 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Etapa 3.1.4

Multiplique $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.4.1

Multiplique $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ .

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Etapa 3.1.4.1.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$- 5 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Etapa 3.1.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 5 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Etapa 3.1.4.2

Some $1$ e $2$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Etapa 3.1.5

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Etapa 3.1.6

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x))$

Etapa 3.1.7

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x))$

Etapa 3.1.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 5 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

Etapa 3.1.9

Some $1$ e $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Etapa 3.1.10

Simplifique.

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Etapa 3.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 5 \sec^{3} (x) - 5 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Etapa 3.1.10.2

Reordene os termos.

$- 5 \tan^{2} (x) \sec (x) - 5 \sec^{3} (x)$

Etapa 3.2

Substitua $0$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

$- 5 \tan^{2} (0) \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Etapa 3.2.2

Avalie $\tan (0)$ .

$- 5 \cdot 0^{2} \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Etapa 3.2.3

Eleve $0$ à potência de $2$ .

$- 5 \cdot 0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Etapa 3.2.4

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Etapa 3.2.5

Avalie $\sec (0)$ .

$0 \cdot 1 - 5 \sec^{3} (0)$

Etapa 3.2.6

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 - 5 \sec^{3} (0)$

Etapa 3.2.7

Avalie $\sec (0)$ .

$0 - 5 \cdot 1^{3}$

Etapa 3.2.8

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Etapa 3.2.9

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$0 - 5$

Etapa 3.2.10

Subtraia $5$ de $0$ .

$- 5$

Etapa 3.3

Como a segunda derivada é negativa em $0$ , ela é um máximo.

$0$ é um máximo local

Etapa 3.4

Substitua $π$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 3.4.1

Substitua $π$ por $x$ .

$- 5 \tan^{2} (π) \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Etapa 3.4.2

Avalie $\tan (π)$ .

$- 5 {(0)}^{2} \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Etapa 3.4.3

Eleve $0$ à potência de $2$ .

$- 5 \cdot 0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Etapa 3.4.4

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Etapa 3.4.5

Avalie $\sec (π)$ .

$0 \cdot - 1 - 5 \sec^{3} (π)$

Etapa 3.4.6

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0 - 5 \sec^{3} (π)$

Etapa 3.4.7

Avalie $\sec (π)$ .

$0 - 5 {(- 1)}^{3}$

Etapa 3.4.8

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$0 - 5 \cdot - 1$

Etapa 3.4.9

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$0 + 5$

Etapa 3.4.10

Some $0$ e $5$ .

$5$

Etapa 3.5

Como a segunda derivada é positiva em (EXPRESSÃO 0), ela é um mínimo.

$π$ é um mínimo local

Etapa 3.6

Liste os extremos locais

$0$ é um máximo local

$π$ é um mínimo local

$0$ é um máximo local

$π$ é um mínimo local

Etapa 4

Compare os valores de $g (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $g (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $g (x)$ .

Máximo absoluto: $(0, - 5)$

Mínimo absoluto: $(π, 5)$

Etapa 5