Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin (x) + 8$ , $0 < x < 2 π$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\cos (x) + 0$

Etapa 1.1.1.3.2

Some $\cos (x)$ e $0$ .

$f' (x) = \cos (x)$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\cos (x) = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 1.2.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.4

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.5

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 1.2.5.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.5.2

Combine frações.

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Etapa 1.2.5.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 1.2.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.5.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 1.2.5.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 1.2.6

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 1.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.2.7

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.8

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $\sin (x) + 8$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$\sin (\frac{π}{2}) + 8$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$1 + 8$

Etapa 1.4.1.2.2

Some $1$ e $8$ .

$9$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Etapa 1.4.2.1

Substitua $\frac{3 π}{2}$ por $x$ .

$\sin (\frac{3 π}{2}) + 8$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.2.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- \sin (\frac{π}{2}) + 8$

Etapa 1.4.2.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1 + 8$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 + 8$

Etapa 1.4.2.2.2

Some $- 1$ e $8$ .

$7$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{π}{2} + 2 π n, 9), (\frac{3 π}{2} + 2 π n, 7)$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(\frac{π}{2}, 9), (\frac{3 π}{2}, 7)$

Etapa 3

Use o teste da primeira derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.

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Etapa 3.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Etapa 3.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, \frac{π}{2})$ na primeira derivada $\cos (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 3.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = \cos (0)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.2.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f' (0) = 1$

Etapa 3.2.2.2

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 3.3

Substitua qualquer número, como $3$ , do intervalo $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ na primeira derivada $\cos (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = \cos (3)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.3.2.1

Avalie $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 0.98999249$

Etapa 3.3.2.2

A resposta final é $- 0.98999249$ .

$- 0.98999249$

Etapa 3.4

Substitua qualquer número, como $7$ , do intervalo $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ na primeira derivada $\cos (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 3.4.1

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f' (7) = \cos (7)$

Etapa 3.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.4.2.1

Avalie $\cos (7)$ .

$f' (7) = 0.75390225$

Etapa 3.4.2.2

A resposta final é $0.75390225$ .

$0.75390225$

Etapa 3.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{π}{2}$ , então $x = \frac{π}{2}$ é um máximo local.

$x = \frac{π}{2}$ é um máximo local

Etapa 3.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{3 π}{2}$ , então $x = \frac{3 π}{2}$ é um mínimo local.

$x = \frac{3 π}{2}$ é um mínimo local

Etapa 3.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = \sin (x) + 8$ .

$x = \frac{π}{2}$ é um máximo local

$x = \frac{3 π}{2}$ é um mínimo local

$x = \frac{π}{2}$ é um máximo local

$x = \frac{3 π}{2}$ é um mínimo local

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{π}{2}, 9)$

Mínimo absoluto: $(\frac{3 π}{2}, 7)$

Etapa 5