Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x + x^{2}$ ; $(- \infty, \infty)$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.1.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 + 2 x$

Etapa 1.1.1.3.2

Reordene os termos.

$f' (x) = 2 x + 4$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x + 4$ .

$2 x + 4$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x + 4 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x + 4 = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 4$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $2 x = - 4$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $2 x = - 4$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 4}{2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 4}{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{2}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Divida $- 4$ por $2$ .

$x = - 2$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $4 x + x^{2}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = - 2$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$4 (- 2) + {(- 2)}^{2}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.2.1.1

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- 8 + {(- 2)}^{2}$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- 8 + 4$

Etapa 1.4.1.2.2

Some $- 8$ e $4$ .

$- 4$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(- 2, - 4)$

Etapa 2

Use o teste da primeira derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.

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Etapa 2.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Etapa 2.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - 2)$ na primeira derivada $2 x + 4$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 2.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = 2 (- 4) + 4$

Etapa 2.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.2.1

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = - 8 + 4$

Etapa 2.2.2.2

Some $- 8$ e $4$ .

$f' (- 4) = - 4$

Etapa 2.2.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$- 4$

Etapa 2.3

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- 2, \infty)$ na primeira derivada $2 x + 4$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 2.3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 2 (0) + 4$

Etapa 2.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.3.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 4$

Etapa 2.3.2.2

Some $0$ e $4$ .

$f' (0) = 4$

Etapa 2.3.2.3

A resposta final é $4$ .

$4$

Etapa 2.4

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - 2$ , então $x = - 2$ é um mínimo local.

$x = - 2$ é um mínimo local

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Nenhum máximo absoluto

Mínimo absoluto: $(- 2, - 4)$

Etapa 4