Cálculo Exemplos

$f (x) = 6 x^{5} - 5 x^{6}$ ; $(- \infty, \infty)$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{5} - 5 x^{6}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{5}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $5$ por $6$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{6}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$30 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$30 x^{4} - 5 (6 x^{5})$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $6$ por $- 5$ .

$30 x^{4} - 30 x^{5}$

Etapa 1.1.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 30 x^{5} + 30 x^{4}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ .

$- 30 x^{5} + 30 x^{4}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 30 x^{5} + 30 x^{4} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 30 x^{5} + 30 x^{4} = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $- 30 x^{4}$ de $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $- 30 x^{4}$ de $- 30 x^{5}$ .

$- 30 x^{4} x + 30 x^{4} = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $- 30 x^{4}$ de $30 x^{4}$ .

$- 30 x^{4} x - 30 x^{4} \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $- 30 x^{4}$ de $- 30 x^{4} (x) - 30 x^{4} (- 1)$ .

$- 30 x^{4} (x - 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{4} = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x^{4}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x^{4}$ como igual a $0$ .

$x^{4} = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $x^{4} = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Etapa 1.2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Etapa 1.2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 1.2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 30 x^{4} (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $6 x^{5} - 5 x^{6}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$6 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{6}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$6 \cdot 0 - 5 {(0)}^{6}$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Multiplique $6$ por $0$ .

$0 - 5 {(0)}^{6}$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 5 \cdot 0$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 1.4.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

$6 {(1)}^{5} - 5 {(1)}^{6}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.2.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$6 \cdot 1 - 5 {(1)}^{6}$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 - 5 {(1)}^{6}$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$6 - 5 \cdot 1$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$6 - 5$

Etapa 1.4.2.2.2

Subtraia $5$ de $6$ .

$1$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (1, 1)$

Etapa 2

Use o teste da primeira derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.

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Etapa 2.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 2.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 2.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = - 30 {(- 2)}^{5} + 30 {(- 2)}^{4}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $5$ .

$f' (- 2) = - 30 \cdot - 32 + 30 {(- 2)}^{4}$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $- 30$ por $- 32$ .

$f' (- 2) = 960 + 30 {(- 2)}^{4}$

Etapa 2.2.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f' (- 2) = 960 + 30 \cdot 16$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $30$ por $16$ .

$f' (- 2) = 960 + 480$

Etapa 2.2.2.2

Some $960$ e $480$ .

$f' (- 2) = 1440$

Etapa 2.2.2.3

A resposta final é $1440$ .

$1440$

Etapa 2.3

Substitua qualquer número, como $0.5$ , do intervalo $(0, 1)$ na primeira derivada $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 2.3.1

Substitua a variável $x$ por $0.5$ na expressão.

$f' (0.5) = - 30 {(0.5)}^{5} + 30 {(0.5)}^{4}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.2.1.1

Eleve $0.5$ à potência de $5$ .

$f' (0.5) = - 30 \cdot 0.03125 + 30 {(0.5)}^{4}$

Etapa 2.3.2.1.2

Multiplique $- 30$ por $0.03125$ .

$f' (0.5) = - 0.9375 + 30 {(0.5)}^{4}$

Etapa 2.3.2.1.3

Eleve $0.5$ à potência de $4$ .

$f' (0.5) = - 0.9375 + 30 \cdot 0.0625$

Etapa 2.3.2.1.4

Multiplique $30$ por $0.0625$ .

$f' (0.5) = - 0.9375 + 1.875$

Etapa 2.3.2.2

Some $- 0.9375$ e $1.875$ .

$f' (0.5) = 0.9375$

Etapa 2.3.2.3

A resposta final é $0.9375$ .

$0.9375$

Etapa 2.4

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(1, \infty)$ na primeira derivada $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 2.4.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = - 30 {(4)}^{5} + 30 {(4)}^{4}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$f' (4) = - 30 \cdot 1024 + 30 {(4)}^{4}$

Etapa 2.4.2.1.2

Multiplique $- 30$ por $1024$ .

$f' (4) = - 30720 + 30 {(4)}^{4}$

Etapa 2.4.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f' (4) = - 30720 + 30 \cdot 256$

Etapa 2.4.2.1.4

Multiplique $30$ por $256$ .

$f' (4) = - 30720 + 7680$

Etapa 2.4.2.2

Some $- 30720$ e $7680$ .

$f' (4) = - 23040$

Etapa 2.4.2.3

A resposta final é $- 23040$ .

$- 23040$

Etapa 2.5

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 2.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 1$ , então $x = 1$ é um máximo local.

$x = 1$ é um máximo local

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(1, 1)$

Nenhum mínimo absoluto

Etapa 4