Cálculo Exemplos

$f (x) = 8 x + 8 \cot (\frac{x}{2})$ , $[\frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x + 8 \cot (\frac{x}{2})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 \cot (\frac{x}{2})]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 \cot (\frac{x}{2})$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\cot (\frac{x}{2})]$ .

$8 + 8 \frac{d}{d x} [\cot (\frac{x}{2})]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$8 + 8 (\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 1.1.1.3.2.2

A derivada de $\cot (u)$ em relação a $u$ é $- \csc^{2} (u)$ .

$8 + 8 (- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 1.1.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 1.1.1.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1))$

Etapa 1.1.1.3.5

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$8 + 8 (- \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{2})$

Etapa 1.1.1.3.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ .

$8 + 8 (- \frac{\csc^{2} (\frac{x}{2})}{2})$

Etapa 1.1.1.3.7

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$8 - 8 \frac{\csc^{2} (\frac{x}{2})}{2}$

Etapa 1.1.1.3.8

Combine $- 8$ e $\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2})}{2}$ .

$8 + \frac{- 8 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{2}$

Etapa 1.1.1.3.9

Cancele o fator comum de $- 8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.9.1

Fatore $2$ de $- 8 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ .

$8 + \frac{2 (- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{2}$

Etapa 1.1.1.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.9.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$8 + \frac{2 (- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{2 (1)}$

Etapa 1.1.1.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$8 + \frac{2 (- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$8 + \frac{- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{1}$

Etapa 1.1.1.3.9.2.4

Divida $- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$f' (x) = 8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ .

$8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$8 - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = - 8$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = - 8$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = - 8$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{- 4} = \frac{- 8}{- 4}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{- 4} = \frac{- 8}{- 4}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{- 8}{- 4}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Divida $- 8$ por $- 4$ .

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) = 2$

Etapa 1.2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{2}$

Etapa 1.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}$

Etapa 1.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\csc (\frac{x}{2}) = - \sqrt{2}$

Etapa 1.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 1.2.6

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}$

$\csc (\frac{x}{2}) = - \sqrt{2}$

Etapa 1.2.7

Resolva $x$ em $\csc (\frac{x}{2}) = \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cossecante.

$\frac{x}{2} = arccsc (\sqrt{2})$

Etapa 1.2.7.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.1

O valor exato de $arccsc (\sqrt{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.7.3

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.7.4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.4.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.7.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.7.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.4.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Etapa 1.2.7.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.7.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.7.5

A função cossecante é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.7.6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.6.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{4})$

Etapa 1.2.7.6.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.6.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.6.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{4})$

Etapa 1.2.7.6.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 (π - \frac{π}{4})$

Etapa 1.2.7.6.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.6.2.2.1

Simplifique $2 (π - \frac{π}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.6.2.2.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

Etapa 1.2.7.6.2.2.1.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.6.2.2.1.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4})$

Etapa 1.2.7.6.2.2.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 1.2.7.6.2.2.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.6.2.2.1.2.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = 2 \frac{π \cdot 4 - π}{2 (2)}$

Etapa 1.2.7.6.2.2.1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 - π}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.7.6.2.2.1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{2}$

Etapa 1.2.7.6.2.2.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.6.2.2.1.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{2}$

Etapa 1.2.7.6.2.2.1.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 1.2.7.7

Encontre o período de $\csc (\frac{x}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.7.7.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Etapa 1.2.7.7.3

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.7.7.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 2$

Etapa 1.2.7.7.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 π$

Etapa 1.2.7.8

O período da função $\csc (\frac{x}{2})$ é $4 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $4 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 4 π n, \frac{3 π}{2} + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.8

Resolva $x$ em $\csc (\frac{x}{2}) = - \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cossecante.

$\frac{x}{2} = arccsc (- \sqrt{2})$

Etapa 1.2.8.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.2.1

O valor exato de $arccsc (- \sqrt{2})$ é $- \frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.8.3

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.2.8.4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.4.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.2.8.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.2.8.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.4.2.1

Simplifique $2 (- \frac{π}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.4.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{4}$ para o numerador.

$x = 2 \frac{- π}{4}$

Etapa 1.2.8.4.2.1.1.2

Fatore $2$ de $4$ .

$x = 2 \frac{- π}{2 (2)}$

Etapa 1.2.8.4.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$x = 2 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.8.4.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$x = \frac{- π}{2}$

Etapa 1.2.8.4.2.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.8.5

A função do cosseno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Etapa 1.2.8.6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.6.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Etapa 1.2.8.6.2

O ângulo resultante de $\frac{5 π}{4}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4}$

Etapa 1.2.8.6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.6.3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{4}$

Etapa 1.2.8.6.3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.6.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.6.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.6.3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{4}$

Etapa 1.2.8.6.3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 \frac{5 π}{4}$

Etapa 1.2.8.6.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.6.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.6.3.2.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = 2 \frac{5 π}{2 (2)}$

Etapa 1.2.8.6.3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$x = 2 \frac{5 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.8.6.3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{5 π}{2}$

Etapa 1.2.8.7

Encontre o período de $\csc (\frac{x}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.8.7.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Etapa 1.2.8.7.3

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.8.7.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 2$

Etapa 1.2.8.7.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 π$

Etapa 1.2.8.8

Some $4 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.8.1

Some $4 π$ com $- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 4 π$

Etapa 1.2.8.8.2

Para escrever $4 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.8.8.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.8.3.1

Combine $4 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.8.8.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 1.2.8.8.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.8.4.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{8 π - π}{2}$

Etapa 1.2.8.8.4.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{2}$

Etapa 1.2.8.8.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{7 π}{2}$

Etapa 1.2.8.9

O período da função $\csc (\frac{x}{2})$ é $4 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $4 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{5 π}{2} + 4 π n, \frac{7 π}{2} + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.9

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{2} + 4 π n, \frac{3 π}{2} + 4 π n, \frac{5 π}{2} + 4 π n, \frac{7 π}{2} + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.10

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Defina o argumento em $\csc (\frac{x}{2})$ como igual a $π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\frac{x}{2} = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π n)$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π n)$

Etapa 1.3.2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 (π n)$

Etapa 1.3.2.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.2.1

Remova os parênteses.

$x = 2 π n$

Etapa 1.3.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

${x | x = 2 π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.4

Avalie $8 x + 8 \cot (\frac{x}{2})$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$8 (\frac{π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$2 (4) \frac{π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 4 \frac{π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Reescreva a expressão.

$4 π + 8 \cot (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.1.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$4 π + 8 \cot (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.4.1.2.3

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.3.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$4 π + 8 \cot (\frac{π}{2 \cdot 2})$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 π + 8 \cot (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4.1.2.4

O valor exato de $\cot (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$4 π + 8 \cdot 1$

Etapa 1.4.1.2.5

Multiplique $8$ por $1$ .

$4 π + 8$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = \frac{3 π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $\frac{3 π}{2}$ por $x$ .

$8 (\frac{3 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$2 (4) \frac{3 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 4 \frac{3 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$4 (3 π) + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.2.2.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 π + 8 \cot (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.2.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$12 π + 8 \cot (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.4.2.2.4

Multiplique $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.4.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$12 π + 8 \cot (\frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Etapa 1.4.2.2.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$12 π + 8 \cot (\frac{3 π}{4})$

Etapa 1.4.2.2.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a cotangente é negativa no segundo quadrante.

$12 π + 8 (- \cot (\frac{π}{4}))$

Etapa 1.4.2.2.6

O valor exato de $\cot (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$12 π + 8 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 1.4.2.2.7

Multiplique $8 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$12 π + 8 \cdot - 1$

Etapa 1.4.2.2.7.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$12 π - 8$

Etapa 1.4.3

Avalie em $x = \frac{5 π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Substitua $\frac{5 π}{2}$ por $x$ .

$8 (\frac{5 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$2 (4) \frac{5 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 4 \frac{5 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$4 (5 π) + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.3.2.2

Multiplique $5$ por $4$ .

$20 π + 8 \cot (\frac{\frac{5 π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.3.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$20 π + 8 \cot (\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.4.3.2.4

Multiplique $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.4.1

Multiplique $\frac{5 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$20 π + 8 \cot (\frac{5 π}{2 \cdot 2})$

Etapa 1.4.3.2.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$20 π + 8 \cot (\frac{5 π}{4})$

Etapa 1.4.3.2.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$20 π + 8 \cot (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4.3.2.6

O valor exato de $\cot (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$20 π + 8 \cdot 1$

Etapa 1.4.3.2.7

Multiplique $8$ por $1$ .

$20 π + 8$

Etapa 1.4.4

Avalie em $x = \frac{7 π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.1

Substitua $\frac{7 π}{2}$ por $x$ .

$8 (\frac{7 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.2.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$2 (4) \frac{7 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 4 \frac{7 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$4 (7 π) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.4.2.2

Multiplique $7$ por $4$ .

$28 π + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.4.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$28 π + 8 \cot (\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.4.4.2.4

Multiplique $\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.2.4.1

Multiplique $\frac{7 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$28 π + 8 \cot (\frac{7 π}{2 \cdot 2})$

Etapa 1.4.4.2.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$28 π + 8 \cot (\frac{7 π}{4})$

Etapa 1.4.4.2.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a cotangente é negativa no quarto quadrante.

$28 π + 8 (- \cot (\frac{π}{4}))$

Etapa 1.4.4.2.6

O valor exato de $\cot (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$28 π + 8 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 1.4.4.2.7

Multiplique $8 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$28 π + 8 \cdot - 1$

Etapa 1.4.4.2.7.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$28 π - 8$

Etapa 1.4.5

Avalie em $x = \frac{9 π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.1

Substitua $\frac{9 π}{2}$ por $x$ .

$8 (\frac{9 π}{2}) + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.2.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$2 (4) \frac{9 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.5.2.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 4 \frac{9 π}{2} + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.5.2.1.3

Reescreva a expressão.

$4 (9 π) + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.5.2.2

Multiplique $9$ por $4$ .

$36 π + 8 \cot (\frac{\frac{9 π}{2}}{2})$

Etapa 1.4.5.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$36 π + 8 \cot (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.4.5.2.4

Multiplique $\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.2.4.1

Multiplique $\frac{9 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$36 π + 8 \cot (\frac{9 π}{2 \cdot 2})$

Etapa 1.4.5.2.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$36 π + 8 \cot (\frac{9 π}{4})$

Etapa 1.4.5.2.5

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$36 π + 8 \cot (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4.5.2.6

O valor exato de $\cot (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$36 π + 8 \cdot 1$

Etapa 1.4.5.2.7

Multiplique $8$ por $1$ .

$36 π + 8$

Etapa 1.4.6

Liste todos os pontos.

$(\frac{π}{2}, 4 π + 8), (\frac{3 π}{2}, 12 π - 8), (\frac{5 π}{2}, 20 π + 8), (\frac{7 π}{2}, 28 π - 8), (\frac{9 π}{2}, 36 π + 8)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(\frac{π}{2}, 4 π + 8), (\frac{3 π}{2}, 12 π - 8)$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie em $x = \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$8 (\frac{π}{4}) + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Etapa 3.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$4 (2) \frac{π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Etapa 3.1.2.1.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 2 \frac{π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Etapa 3.1.2.1.3

Reescreva a expressão.

$2 π + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π + 8 \cot (\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 3.1.2.3

Multiplique $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 π + 8 \cot (\frac{π}{4 \cdot 2})$

Etapa 3.1.2.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$2 π + 8 \cot (\frac{π}{8})$

Etapa 3.1.2.4

O valor exato de $\cot (\frac{π}{8})$ é $\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.1

Reescreva $\frac{π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$2 π + 8 \cot (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Etapa 3.1.2.4.2

Aplique a identidade recíproca.

$2 π + 8 \frac{1}{\tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})}$

Etapa 3.1.2.4.3

Aplique a fórmula do arco metade da tangente.

$2 π + 8 \frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Etapa 3.1.2.4.4

Altere o $\pm$ para $+$ , porque a cotangente é positiva no primeiro quadrante.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Etapa 3.1.2.4.5

Simplifique $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.5.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.1.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.5.2.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.5.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.5.3.2.1

Cancele o fator comum.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.2.2

Reescreva a expressão.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.3

Multiplique $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ por $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.4

Multiplique $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ por $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.5

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.6

Simplifique.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.7

Aplique a propriedade distributiva.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.5.3.8.1

Cancele o fator comum.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.8.2

Reescreva a expressão.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.9

Combine $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.10

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.5.3.10.1

Escreva $2$ como uma fração com denominador $1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.10.2

Multiplique $\frac{2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.10.3

Multiplique $\frac{2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.10.4

Escreva $- \sqrt{2}$ como uma fração com denominador $1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.10.5

Multiplique $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.10.6

Multiplique $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.12

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.5.3.12.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.12.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.12.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.12.5

Multiplique $- - \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.5.3.12.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + 1 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.12.5.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.12.6

Aplique a propriedade distributiva.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.12.7

Combine usando a regra do produto para radicais.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.12.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.5.3.12.8.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.12.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.12.8.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.13

Some $4$ e $2$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.14

Subtraia $2 \sqrt{2}$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.15

Cancele o fator comum de $6 - 4 \sqrt{2}$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.5.3.15.1

Fatore $2$ de $6$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.15.2

Fatore $2$ de $- 4 \sqrt{2}$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.15.3

Fatore $2$ de $2 (3) + 2 (- 2 \sqrt{2})$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.15.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.5.3.15.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.15.4.2

Cancele o fator comum.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.15.4.3

Reescreva a expressão.

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{1}}}$

Etapa 3.1.2.4.5.3.15.4.4

Divida $3 - 2 \sqrt{2}$ por $1$ .

$2 π + 8 \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 3.1.2.5

Combine $8$ e $\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ .

$2 π + \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 3.2

Avalie em $x = \frac{7 π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua $\frac{7 π}{4}$ por $x$ .

$8 (\frac{7 π}{4}) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Etapa 3.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$4 (2) \frac{7 π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 2 \frac{7 π}{4} + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Etapa 3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$2 (7 π) + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $7$ por $2$ .

$14 π + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Etapa 3.2.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$14 π + 8 \cot (\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 3.2.2.4

Multiplique $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.4.1

Multiplique $\frac{7 π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$14 π + 8 \cot (\frac{7 π}{4 \cdot 2})$

Etapa 3.2.2.4.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$14 π + 8 \cot (\frac{7 π}{8})$

Etapa 3.2.2.5

O valor exato de $\cot (\frac{7 π}{8})$ é $- \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.5.1

Reescreva $\frac{7 π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$14 π + 8 \cot (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Etapa 3.2.2.5.2

Aplique a identidade recíproca.

$14 π + 8 \frac{1}{\tan (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})}$

Etapa 3.2.2.5.3

Aplique a fórmula do arco metade da tangente.

$14 π + 8 \frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$

Etapa 3.2.2.5.4

Altere o $\pm$ para $-$ , porque o cotangente é negativo no segundo quadrante.

$14 π + 8 \frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$

Etapa 3.2.2.5.5

Simplifique $\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.5.5.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.5.5.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$14 π + 8 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}}$

Etapa 3.2.2.5.5.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.5.5.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.2.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.5.5.3.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.3.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.3.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.5.5.4.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.5.5.4.2.1

Cancele o fator comum.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.2.2

Reescreva a expressão.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.3

Multiplique $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ por $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.4

Multiplique $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ por $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.5

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.6

Simplifique.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.7

Aplique a propriedade distributiva.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.5.5.4.8.1

Cancele o fator comum.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.8.2

Reescreva a expressão.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.9

Combine $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.10

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.5.5.4.10.1

Escreva $2$ como uma fração com denominador $1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.10.2

Multiplique $\frac{2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.10.3

Multiplique $\frac{2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.10.4

Escreva $- \sqrt{2}$ como uma fração com denominador $1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.10.5

Multiplique $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.10.6

Multiplique $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.12

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.5.5.4.12.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.12.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.12.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.12.5

Multiplique $- - \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.5.5.4.12.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + 1 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.12.5.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.12.6

Aplique a propriedade distributiva.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.12.7

Combine usando a regra do produto para radicais.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.12.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.5.5.4.12.8.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.12.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.12.8.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.13

Some $4$ e $2$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.14

Subtraia $2 \sqrt{2}$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 4 \sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.15

Cancele o fator comum de $6 - 4 \sqrt{2}$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.5.5.4.15.1

Fatore $2$ de $6$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.15.2

Fatore $2$ de $- 4 \sqrt{2}$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2})}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.15.3

Fatore $2$ de $2 (3) + 2 (- 2 \sqrt{2})$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.15.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.5.5.4.15.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.15.4.2

Cancele o fator comum.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.15.4.3

Reescreva a expressão.

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{1}}})$

Etapa 3.2.2.5.5.4.15.4.4

Divida $3 - 2 \sqrt{2}$ por $1$ .

$14 π + 8 (- \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}})$

Etapa 3.2.2.6

Multiplique $8 (- \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$14 π - 8 \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 3.2.2.6.2

Combine $- 8$ e $\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$ .

$14 π + \frac{- 8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 3.2.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$14 π - \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{π}{4}, 2 π + \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}), (\frac{7 π}{4}, 14 π - \frac{8}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}})$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{3 π}{2}, 12 π - 8)$

Mínimo absoluto: $(\frac{π}{2}, 4 π + 8)$

Etapa 5