Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 49}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 49}$ como ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 49$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 49$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 49$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Etapa 1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Etapa 1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Etapa 1.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Etapa 1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Etapa 1.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Etapa 1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Etapa 1.7.3

Mova ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Etapa 1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 49$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49])$

Etapa 1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [49])$

Etapa 1.10

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Etapa 1.11

Simplifique os termos.

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Etapa 1.11.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Etapa 1.11.2

Combine $2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} x$

Etapa 1.11.3

Combine $\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.11.5

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.3

Simplifique.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.4.2

Multiplique ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 49$ .

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Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 49$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 49$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.10

Combine frações.

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Etapa 2.10.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.10.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.10.3

Mova ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 49))}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.10.4

Combine $\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 49)}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 49$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (49))}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (49))}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.13

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.14

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.14.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.14.3

Combine $- 2$ e $\frac{x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.14.4

Combine $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.16

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.18

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.19

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.20

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.20.1

Fatore $2$ de $2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.20.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.20.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.22

Para escrever ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.23

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.24

Multiplique ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.24.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.24.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.24.3

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 49)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.24.4

Divida $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 49) - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.25

Simplifique ${(x^{2} + 49)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 49 - x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.26

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.27

Some $0$ e $49$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.28

Reescreva $\frac{\frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 49}$ como um produto.

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 49}$

Etapa 2.29

Multiplique $\frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{2} + 49}$ .

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 49)}$

Etapa 2.30

Multiplique ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 49$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.30.1

Multiplique ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 49$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.30.1.1

Eleve $x^{2} + 49$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 49)}$

Etapa 2.30.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 2.30.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 2.30.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 2.30.4

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{49}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 49}$ como ${(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 49$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 49$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 49$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Etapa 4.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Etapa 4.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Etapa 4.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Etapa 4.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Etapa 4.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Etapa 4.1.7

Combine frações.

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Etapa 4.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Etapa 4.1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Etapa 4.1.7.3

Mova ${(x^{2} + 49)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]$

Etapa 4.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 49$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49])$

Etapa 4.1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [49])$

Etapa 4.1.10

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Etapa 4.1.11

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1.11.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Etapa 4.1.11.2

Combine $2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} x$

Etapa 4.1.11.3

Combine $\frac{2}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.11.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.11.5

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 49)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x = 0$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{49}{{({(0)}^{2} + 49)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{49}{{(0 + 49)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.2

Some $0$ e $49$ .

$\frac{49}{49^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.3

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{49}{{(7^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{49}{7^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 9.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{49}{7^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 9.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{49}{7^{3}}$

Etapa 9.1.6

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$\frac{49}{343}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $49$ e $343$ .

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Etapa 9.2.1

Fatore $49$ de $49$ .

$\frac{49 (1)}{343}$

Etapa 9.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.2.1

Fatore $49$ de $343$ .

$\frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 7}$

Etapa 9.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 7}$

Etapa 9.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{7}$

Etapa 10

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \sqrt{{(0)}^{2} + 49}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \sqrt{0 + 49}$

Etapa 11.2.2

Some $0$ e $49$ .

$f (0) = \sqrt{49}$

Etapa 11.2.3

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$f (0) = \sqrt{7^{2}}$

Etapa 11.2.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (0) = 7$

Etapa 11.2.5

A resposta final é $7$ .

$y = 7$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = \sqrt{x^{2} + 49}$ .

$(0, 7)$ é um mínimo local

Etapa 13