Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin (x) \cos (x) + 7$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) \cos (x) + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.2.4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.2.5

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.2.7

Some $1$ e $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.2.8

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.2.9

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.2.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.2.11

Some $1$ e $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 0$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Some $- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ e $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Etapa 1.4.2

Reordene $- \sin^{2} (x)$ e $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Etapa 1.4.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Etapa 1.4.4

Expanda $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Etapa 1.4.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Etapa 1.4.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.4.5

Combine os termos opostos em $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Etapa 1.4.5.1

Reorganize os fatores nos termos $\cos (x) (- \sin (x))$ e $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.4.5.2

Some $- \cos (x) \sin (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.4.5.3

Some $\cos (x) \cos (x)$ e $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.4.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.6.1

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 1.4.6.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.4.6.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.4.6.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.4.6.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.4.6.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Etapa 1.4.6.3

Multiplique $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 1.4.6.3.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Etapa 1.4.6.3.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Etapa 1.4.6.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Etapa 1.4.6.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Etapa 1.4.7

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$\cos (2 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Etapa 2.2.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\cos (2 x) = 0$

Etapa 4

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$2 x = \arccos (0)$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Etapa 6

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 6.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 6.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 7

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 8

Resolva $x$ .

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Etapa 8.1

Simplifique.

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Etapa 8.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 8.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 8.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 8.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 8.1.5

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 8.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 8.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 8.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 8.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 8.2.3.2

Multiplique $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 8.2.3.2.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 9

A solução para a equação $2 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 11.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Etapa 11.1.2

Cancele o fator comum.

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Etapa 11.1.3

Reescreva a expressão.

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 11.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 11.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 12

$x = \frac{π}{4}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{4}$ é um máximo local

Etapa 13

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{4}$ .

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Etapa 13.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + 7$

Etapa 13.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 13.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.2.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + 7$

Etapa 13.2.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 7$

Etapa 13.2.1.3

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 13.2.1.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Etapa 13.2.1.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Etapa 13.2.1.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Etapa 13.2.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + 7$

Etapa 13.2.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Etapa 13.2.1.3.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + 7$

Etapa 13.2.1.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 13.2.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 7$

Etapa 13.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 7$

Etapa 13.2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

Etapa 13.2.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

Etapa 13.2.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{4} + 7$

Etapa 13.2.1.4.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{4} + 7$

Etapa 13.2.1.5

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 13.2.1.5.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (1)}{4} + 7$

Etapa 13.2.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.5.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

Etapa 13.2.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

Etapa 13.2.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + 7$

Etapa 13.2.2

Para escrever $7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 13.2.3

Combine $7$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

Etapa 13.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1 + 7 \cdot 2}{2}$

Etapa 13.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.2.5.1

Multiplique $7$ por $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1 + 14}{2}$

Etapa 13.2.5.2

Some $1$ e $14$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{15}{2}$

Etapa 13.2.6

A resposta final é $\frac{15}{2}$ .

$y = \frac{15}{2}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3 π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Etapa 15

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 15.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

Etapa 15.1.2

Cancele o fator comum.

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Etapa 15.1.3

Reescreva a expressão.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 15.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 15.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 15.4

Multiplique $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Etapa 15.4.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2$

Etapa 16

$x = \frac{3 π}{4}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{4}$ é um mínimo local

Etapa 17

Encontre o valor y quando $x = \frac{3 π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

Etapa 17.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 17.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

Etapa 17.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

Etapa 17.2.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4})) + 7$

Etapa 17.2.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 7$

Etapa 17.2.1.5

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Etapa 17.2.1.5.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Etapa 17.2.1.5.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Etapa 17.2.1.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + 7$

Etapa 17.2.1.5.5

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Etapa 17.2.1.5.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + 7$

Etapa 17.2.1.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 7$

Etapa 17.2.1.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 7$

Etapa 17.2.1.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

Etapa 17.2.1.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

Etapa 17.2.1.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{4} + 7$

Etapa 17.2.1.6.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{4} + 7$

Etapa 17.2.1.7

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1.7.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 (1)}{4} + 7$

Etapa 17.2.1.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1.7.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

Etapa 17.2.1.7.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

Etapa 17.2.1.7.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + 7$

Etapa 17.2.2

Para escrever $7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 17.2.3

Combine $7$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

Etapa 17.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1 + 7 \cdot 2}{2}$

Etapa 17.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.5.1

Multiplique $7$ por $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1 + 14}{2}$

Etapa 17.2.5.2

Some $- 1$ e $14$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{13}{2}$

Etapa 17.2.6

A resposta final é $\frac{13}{2}$ .

$y = \frac{13}{2}$

Etapa 18

Esses são os extremos locais para $f (x) = \sin (x) \cos (x) + 7$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{15}{2})$ é um máximo local

$(\frac{3 π}{4}, \frac{13}{2})$ é um mínimo local

Etapa 19