Cálculo Exemplos

$y = 4 x - \ln (x)$

Etapa 1

Escreva $y = 4 x - \ln (x)$ como uma função.

$f (x) = 4 x - \ln (x)$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 2.1.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.1.1.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Etapa 2.1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 2.1.1.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$4 - \frac{1}{x}$

Etapa 2.1.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 4$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{x} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.1.2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.1.2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.1.2.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.1.2.2.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.1.2.2.6

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.1.2.2.7

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.1.2.2.8

Some $x^{- 2}$ e $0$ .

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.1.2.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Etapa 2.1.2.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

Etapa 2.1.2.4.2

Some $\frac{1}{x^{2}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Etapa 2.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 2.2.3

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre o domínio de $f (x) = 4 x - \ln (x)$ .

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Etapa 3.1

Defina o argumento em $\ln (x)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x > 0$

Etapa 3.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(0, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = \frac{1}{{(2)}^{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4}$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6