Cálculo Exemplos

$\frac{d}{d t} (t^{2} + 1) (t + 9)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{2} + 1$ e $g (t) = t + 9$ .

$(t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t + 9] + (t + 9) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + 9$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$(t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9]) + (t + 9) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(t^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d t} [9]) + (t + 9) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Etapa 2.3

Como $9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $9$ em relação a $t$ é $0$ .

$(t^{2} + 1) (1 + 0) + (t + 9) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Etapa 2.4

Some $1$ e $0$ .

$(t^{2} + 1) \cdot 1 + (t + 9) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$(t^{2} + 1) \cdot 1 + (t + 9) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(t^{2} + 1) \cdot 1 + (t + 9) (2 t + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 2.7

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$(t^{2} + 1) \cdot 1 + (t + 9) (2 t + 0)$

Etapa 2.8

Some $2 t$ e $0$ .

$(t^{2} + 1) \cdot 1 + (t + 9) (2 t)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$t^{2} \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (t + 9) (2 t)$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$t^{2} \cdot 1 + 1 \cdot 1 + t (2 t) + 9 (2 t)$

Etapa 3.3

Combine os termos.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $t^{2}$ por $1$ .

$t^{2} + 1 \cdot 1 + t (2 t) + 9 (2 t)$

Etapa 3.3.2

Multiplique $1$ por $1$ .

$t^{2} + 1 + t (2 t) + 9 (2 t)$

Etapa 3.3.3

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$t^{2} + 1 + 2 (t^{1} t) + 9 (2 t)$

Etapa 3.3.4

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$t^{2} + 1 + 2 (t^{1} t^{1}) + 9 (2 t)$

Etapa 3.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$t^{2} + 1 + 2 t^{1 + 1} + 9 (2 t)$

Etapa 3.3.6

Some $1$ e $1$ .

$t^{2} + 1 + 2 t^{2} + 9 (2 t)$

Etapa 3.3.7

Multiplique $2$ por $9$ .

$t^{2} + 1 + 2 t^{2} + 18 t$

Etapa 3.3.8

Some $t^{2}$ e $2 t^{2}$ .

$3 t^{2} + 1 + 18 t$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$3 t^{2} + 18 t + 1$