Cálculo Exemplos

$y = {(4 x - 3)}^{2} {(4 - x^{5})}^{4}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(4 x - 3)}^{2}$ e $g (x) = {(4 - x^{5})}^{4}$ .

${(4 x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{5})}^{4}] + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 4 - x^{5}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 - x^{5}$ .

${(4 x - 3)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [4 - x^{5}]) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

${(4 x - 3)}^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [4 - x^{5}]) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - x^{5}$ .

${(4 x - 3)}^{2} (4 {(4 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [4 - x^{5}]) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

${(4 x - 3)}^{2} (4 {(4 - x^{5})}^{3} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Etapa 3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

${(4 x - 3)}^{2} (4 {(4 - x^{5})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

${(4 x - 3)}^{2} (4 {(4 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

${(4 x - 3)}^{2} (4 {(4 - x^{5})}^{3} (- \frac{d}{d x} [x^{5}])) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Etapa 3.5

Multiplique $- 1$ por $4$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 4 {(4 - x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 4 {(4 - x^{5})}^{3} (5 x^{4})) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $5$ por $- 4$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 {(4 - x^{5})}^{3} x^{4}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Etapa 3.7.2

Reordene os fatores de $- 20 {(4 - x^{5})}^{3} x^{4}$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{2}]$

Etapa 3.7.3

Reescreva ${(4 x - 3)}^{2}$ como $(4 x - 3) (4 x - 3)$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [(4 x - 3) (4 x - 3)]$

Etapa 4

Expanda $(4 x - 3) (4 x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 x (4 x - 3) - 3 (4 x - 3)]$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x - 3)]$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

Etapa 5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

Etapa 5.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.2.1

Mova $x$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

Etapa 5.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

Etapa 5.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

Etapa 5.1.4

Multiplique $- 3$ por $4$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 12 x - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3]$

Etapa 5.1.5

Multiplique $4$ por $- 3$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 12 x - 12 x - 3 \cdot - 3]$

Etapa 5.1.6

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 12 x - 12 x + 9]$

Etapa 5.2

Subtraia $12 x$ de $- 12 x$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 24 x + 9]$

Etapa 6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 x^{2} - 24 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 7

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x^{2}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 9

Multiplique $2$ por $16$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 10

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 12

Multiplique $- 24$ por $1$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24 + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 13

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24 + 0)$

Etapa 14

Simplifique com fatoração.

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Etapa 14.1

Some $32 x - 24$ e $0$ .

${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24)$

Etapa 14.2

Fatore ${(4 - x^{5})}^{3}$ de ${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3}) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24)$ .

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Etapa 14.2.1

Fatore ${(4 - x^{5})}^{3}$ de ${(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4} {(4 - x^{5})}^{3})$ .

${(4 - x^{5})}^{3} ({(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4})) + {(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24)$

Etapa 14.2.2

Fatore ${(4 - x^{5})}^{3}$ de ${(4 - x^{5})}^{4} (32 x - 24)$ .

${(4 - x^{5})}^{3} ({(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4})) + {(4 - x^{5})}^{3} ((4 - x^{5}) (32 x - 24))$

Etapa 14.2.3

Fatore ${(4 - x^{5})}^{3}$ de ${(4 - x^{5})}^{3} ({(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4})) + {(4 - x^{5})}^{3} ((4 - x^{5}) (32 x - 24))$ .

${(4 - x^{5})}^{3} ({(4 x - 3)}^{2} (- 20 x^{4}) + (4 - x^{5}) (32 x - 24))$