Cálculo Exemplos

$x^{2} (3 x^{3} - 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 3 x^{3} - 1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 1] + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{3} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Etapa 3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{2} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$x^{2} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} (9 x^{2} + 0) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.2

Some $9 x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} (9 x^{2}) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (9 x^{2}) + (3 x^{3} - 1) (2 x)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} (9 x^{2}) + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} \cdot 9 + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Etapa 5.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 2} \cdot 9 + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Etapa 5.2.1.3

Some $2$ e $2$ .

$x^{4} \cdot 9 + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Etapa 5.2.2

Mova $9$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$9 \cdot x^{4} + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Etapa 5.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$9 x^{4} + 6 x^{3} x - 1 (2 x)$

Etapa 5.2.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$9 x^{4} + 6 (x^{1} x^{3}) - 1 (2 x)$

Etapa 5.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$9 x^{4} + 6 x^{1 + 3} - 1 (2 x)$

Etapa 5.2.6

Some $1$ e $3$ .

$9 x^{4} + 6 x^{4} - 1 (2 x)$

Etapa 5.2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$9 x^{4} + 6 x^{4} - 2 x$

Etapa 5.2.8

Some $9 x^{4}$ e $6 x^{4}$ .

$15 x^{4} - 2 x$