Cálculo Exemplos

$\sum_{i = 3}^{10} \sqrt{3} \cdot \frac{i}{2}$

Etapa 1

Divida a soma para tornar o valor inicial de $i$ igual a $1$ .

$\sum_{i = 3}^{10} \frac{\sqrt{3} i}{2} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{\sqrt{3} i}{2} - \sum_{i = 1}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Etapa 2

Avalie $\sum_{i = 1}^{10} \frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $\frac{\sqrt{3}}{2}$ da soma.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sum_{k = 1}^{10} i$

Etapa 2.2

A fórmula da soma de um polinômio com grau $1$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Etapa 2.3

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(\frac{\sqrt{3}}{2}) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Some $10$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{10 \cdot 11}{2}$

Etapa 2.4.1.2

Multiplique $10$ por $11$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{110}{2}$

Etapa 2.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Fatore $2$ de $110$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 (55)}{2}$

Etapa 2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 \cdot 55}{2}$

Etapa 2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{3} \frac{55}{2}$

Etapa 2.4.3

Combine $\sqrt{3}$ e $\frac{55}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \cdot 55}{2}$

Etapa 2.4.4

Mova $55$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$\frac{55 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 3

Avalie $\sum_{i = 1}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Expanda a série para cada valor de $i$ .

$\frac{\sqrt{3} \cdot 1}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Etapa 3.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Etapa 3.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.2.3

Some $\sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4

Substitua as somas pelos valores encontrados.

$\frac{55 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{55 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.2

Subtraia $3 \sqrt{3}$ de $55 \sqrt{3}$ .

$\frac{52 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $52$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Fatore $2$ de $52 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (26 \sqrt{3})}{2}$

Etapa 5.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (26 \sqrt{3})}{2 (1)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (26 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{26 \sqrt{3}}{1}$

Etapa 5.3.2.4

Divida $26 \sqrt{3}$ por $1$ .

$26 \sqrt{3}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$26 \sqrt{3}$

Forma decimal:

$45.03332099 \dots$